Warum gibt es eine Zeitabhängigkeit in den Heisenberg-Zuständen der Haag-Ruelle-Streutheorie?

Question

Warum gibt es eine Zeitabhängigkeit in den Heisenberg-Zuständen der Haag-Ruelle-Streutheorie?

Andreas Becker

Ich lese R. Haags berühmtes Buch „ Lokale Quantenphysik: Felder, Teilchen, Algebren “, 2. Auflage, und bin sehr verwundert darüber, wie er das Heisenberg-Bild in der Haag-Ruelle-Streuungstheorie behandelt. Es beginnt im Abschnitt „ II.3 Physikalische Interpretation in Bezug auf Teilchen “, wo er auf Seite 76 klar sagt: „ Unsere Beschreibung ist im Heisenberg-Bild $\Psi_{i\alpha}$ beschreibt den Zustand "sub specie aeternitatis"; wir können ihm wie in (I.3.29) eine Wellenfunktion in der Raumzeit zuweisen, die der Klein-Gordon-Gleichung gehorcht. "

Dann sagt er auf Seite 77: „ Stellen Sie sich die Zustandsvektoren vor $\Psi_1$ , $\Psi_2$ Zustände beschreiben, die zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ sind in getrennten Raumregionen lokalisiert $V_1$ , $V_2$ . „Ab hier beginnt der ganze Aufbau.

Ich würde es sehr schätzen, wenn ein Experte für Haag-Ruelle-Streuung oder wer auch immer die Antwort weiß, meine Frage beantworten würde, warum ein Zustandsvektor im Heisenberg-Bild so ist $\Psi_1$ Und $\Psi_2$ oben von der Zeit abhängt, obwohl es allgemein bekannt ist, dass den Zustandsvektoren im Heisenberg-Bild keine Zeitabhängigkeit zugeordnet ist?

EDIT 1: Bis vor kurzem wusste ich nicht einmal, wie ein Streuprozess im Heisenberg-Bild von QM beschrieben werden könnte, da der Anfangszustand einmal vorbereitet ist $t_i = - \infty$ , dieser Zustand wird für alle Zeiten unverändert bleiben und er wird derselbe sein für $t_f = + \infty$ , und daher könnte es keine Streuung geben (ganz zu schweigen von Teilchenerzeugung, 3-Körper-Streuung, Umlagerungskollisionen usw.). Wie kann man dieses Problem lösen? Dann habe ich eine der anschaulichsten Darstellungen in der Arbeit von H. Ekstein, "Scattering in field theory", http://link.springer.com/article/10.1007/BF02745471 entdeckt

Die Grundidee ist folgende: Man bereitet einen Zustand des Systems an $t_i = -\infty$ B. durch Messen eines vollständigen Satzes kompatibler Observablen, die durch Operatoren im Heisenberg-Bild repräsentiert werden (dh zeitabhängig). $A(t_{i}), B(t_{i})$ usw. Offensichtlich ist dieser vorbereitete Zustand beispielsweise ein gemeinsamer Eigenvektor dieser Operatoren $|a,b,...; t_{i}\rangle$ entsprechend den Eigenwerten (bei der Messung erhalten) $a, b$ ,.... , dh, $A(t_{i})|a,b,...; t_{i}\rangle = a|a,b,...; t_{i}\rangle, B(t_{i})|a,b,...; t_{i}\rangle = b|a,b,...;t_{i}\rangle$ , usw.

Dann lässt man das System sich entwickeln $t_i = -\infty$ Zu $t_f = +\infty$ . Offensichtlich bleibt der Zustandsvektor des Systems unverändert, nämlich $|a,b,...; t_{i}\rangle$ für jederzeit $t$ , mit $t_i \leq t \leq t_f$ , da wir uns im Heisenberg-Bild befinden, aber die Operatoren, die dynamische Observablen darstellen, ändern sich mit der Zeit gemäß der Heisenberg-Bewegungsgleichung.

Zum Zeitpunkt $t_f = +\infty$ , misst man erneut das System, indem man beispielsweise einen vollständigen Satz kompatibler Observablen auswählt $C(t_{f}), D(t_{f})$ ,.... Als Ergebnis dieser Messung ändert sich der Zustand des Systems mit der Zeit $t = t_f$ , aus $|a,b,...; t_{i}\rangle$ Zu $|c,d,...; t_{f}\rangle$ , Wo $|c,d,...; t_{f}\rangle$ ist ein gemeinsamer Eigenvektor der Operatoren $C(t_{f}), D(t_{f})$ ,..., entsprechend den Eigenwerten $c, d,$ ... erhalten in der Messung (zum Zeitpunkt $t = t_f$ ), dh $C(t_{f})|c,d,....; t_{f}\rangle = c|c,d,....; t_{f}\rangle, D(t_{f})|c,d,....; t_{f}\rangle = d|c,d,....; t_{f}\rangle$ , usw.

Die interessierende Größe ist die Übergangsamplitude aus dem Heisenberg-Zustand $|a,b,...; t_{i}\rangle$ zum Land Heisenberg $|c,d,...; t_{f}\rangle$ , und diese ist durch das S-Matrix-Element gegeben $S_{a,b,...; c,d,...} = \langle c,d,...; t_{f}| a,b,...; t_{i}\rangle$ .

Zusammenfassend: Der Schlüssel zum Verständnis der Streuung im Schrödinger- oder Heisenberg-Bild ist die Erkenntnis, dass dies zwei experimentelle Operationen impliziert, nämlich die Vorbereitung bei $t = t_i$ und Messung bei $t = t_f$ .

Ein logischer Ansatz zur Lösung eines Streuproblems im Heisenberg-Bild (wie von Ekstein dargestellt) ist der folgende:

H0) Lösen Sie für jede gegebene Observable die Heisenberg-Bewegungsgleichung, um ihre Abhängigkeit von der Zeit zu finden, dh den Operator $A(t)$ .
H1) Für jeden Heisenberg-Operator (der eine Observable darstellt) $A(t)$ Finden Sie die asymptotischen Werte $A_i = \lim_{t \rightarrow -\infty} A(t)$ Und $A_f = \lim_{t \rightarrow +\infty} A(t)$
H2) Lösen Sie das Eigenwertproblem für die asymptotischen Operatoren $A_i$ Und $A_f$ . Die Eigenvektoren sind die entsprechenden asymptotischen Streuzustände.
H3) Wählen Sie ein vollständiges System kompatibler Observablen (CSCO) aus, das der Zustandsvorbereitung at entspricht $t = t_i$ , allgemein bezeichnet mit $A_i$ . Wählen Sie einen CSCO aus, der der Messung bei entspricht $t = t_f$ , allgemein bezeichnet mit $C_f$ .
H4) Berechnen von Matrixelementen zwischen Eigenvektoren, die in Schritt H2) bestimmt wurden, nämlich $\langle c, t_{f}| a, t_{i}\rangle$ , Wo $|a, t_{i}\rangle$ ist ein Eigenvektor von $A_i = A(t_{i})$ , Und $|c, t_{f}\rangle$ ist ein Eigenvektor von $C_f = C(t_{f})$ .

Was die Haag-Ruelle-Streuung betrifft, sind die Dinge sehr verwirrend. Das Hauptargument ist in allen verfügbaren Büchern dasselbe. Anstatt den oben dargestellten sehr logischen Schritten H1)–H4) zu folgen, beginnt man damit, einen Vektor in Abhängigkeit von einem Parameter zu konstruieren $"t"$ und zeigt, dass dieser Vektor Grenzen hat, wenn $|t|$ wird unendlich. Ich muss sagen, dass diese Art der Argumentation an die Behandlung der Streuung im Schrödinger-Bild (SP) erinnert. Im SP geht man von einem beliebigen Zustandsvektor aus $|\Psi (t)\rangle$ das ist laut SP zeitabhängig und muss das dann zeigen $|\Psi (t)\rangle$ hat Asymptoten, wenn (die Echtzeit) $|t|$ wird unendlich.

Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir mit einigen Antworten auf diese Fragen helfen könnten:

1) Wie ist die Beziehung zwischen den Parametern $"t"$ der HR-Streuung und der Echtzeit , seit wann $"t"$ unendlich wird, behaupten sie, die asymptotischen Streuzustände erhalten zu haben?
2) Was ist die physikalische Interpretation der Vektoren? $\psi_t$ in der HR-Streuung? Werden sie als Ergebnis einer Messung erhalten? Sind sie im Heisenberg-Bild oder im Schrödinger-Bild?
3) Gibt es einen CSCO, so dass die Zustände der asymptotischen HR-Streuung die Eigenvektoren dieses CSCO sind? Wenn ja, ist diese CSCO die asymptotische Grenze einer endlichen Heisenberg-CSCO, wie in den Schritten H1)–H4) beschrieben?
4) Kann man mit der HR-Methode asymptotische Streuzustände für ein ARBITRARY CSCO erhalten? Dies sollte der Fall sein, da man den Anfangszustand beliebig präparieren kann $t = t_i$ , und kann dann wählen, was beobachtbar sein soll $t = t_f$ , und daher müssen die der Vorbereitung und Messung entsprechenden CSCOs willkürlich sein.

EDIT 2: @Pedro Ribeiro Ihre Einwände gegen Eksteins Konstruktion sind vielleicht unbegründet:

Ich habe in meiner Präsentation aus EDIT 1 ein diskretes Spektrum für CSCOs gewählt, nur um die allgemeine Idee mit minimaler Notation zu vermitteln. Im Falle eines kontinuierlichen Spektrums kann man spektrale Projektionsoperatoren gemäß von Neumanns QM verwenden.
Ein Heisenberg-Operator $A(t)$ wirkt im vollen Hilbert-Raum, dh im selben Hilbert-Raum, auf dem der totale Hamilton-Operator steht $H$ handelt. Das Haag-Theorem hat damit zu tun, dass der freie Hamiltonoperator $H_0$ und der vollständige Hamiltonoperator $H$ handle auf 2 verschiedenen Hilbert-Feldern. Dazwischen besteht keine Verbindung $A(t)$ Und $H_0$ oder den zugehörigen Hilbert-Raum für eine beliebige Zeit $t$ , endlich oder unendlich. Daher hat der Satz von Haag keine Bedeutung $\lim_{t \rightarrow \pm\infty} A(t)$ und verbietet daher nicht die Existenz dieser Grenze. Beispiele: Wenn $A(t)$ pendelt mit $H$ , Dann $A(t)$ zeitlich konstant ist und der Grenzwert sicher existiert (siehe zB Impulsoperator). Tatsächlich basiert die ganze LSZ-Idee auf solchen Grenzen!

Es ist nur eine Möglichkeit, wie ein Staat von der Zeit abhängen kann $t$ im Heisenberg-Bild . Diese Zeit $t$ Das muss ein Zeitpunkt sein, zu dem irgendein Heisenberg-Operator sagt $A(t)$ , wird am System gemessen, und als Effekt wird der Zustand zum Eigenvektor $|a,t\rangle$ dieses Betreibers. Andernfalls entwickeln sich Zustandsvektoren im Heisenberg-Bild nicht dynamisch in der Zeit! Man kann sich meinen Beitrag anschauen .

Aus Ihrer Präsentation ist noch nicht ganz klar, ob die Parameter $"t"$ ist der Zeitpunkt, zu dem man sich entscheidet, einen CSCO auf dem System zu messen und einen Eigenvektor (?) $\psi_t$ . Dafür muss man so einen Heisenberg CSCO konstruieren und das zeigen $\psi_t$ ist sein Eigenvektor (entsprechend einem Eigenwert) zur Zeit $t$ . Kann man das zeigen?

In der Zwischenzeit habe ich einige Vorlesungsunterlagen von Haag entdeckt, die in Lectures in Theoretical Physics, Volume III , herausgegeben von Brittin und Downs, Interscience Publishers, veröffentlicht wurden. Ab Seite 343 diskutiert Haag seine Theorie und sagt in seinen eigenen Worten sehr deutlich, dass die $\psi_t$ Zustände sind offensichtlich im Schrödinger-Bild , und $t$ ist reguläre Zeit. Nur die asymptotischen Grenzen von $\psi_t$ Haag betrachtet Streuzustände im Heisenberg-Bild darzustellen. Aber auch das kann seitdem nicht mehr funktionieren $\psi_t$ hat 2 Grenzen, $\psi_{\pm} = \lim_{t\rightarrow\pm\infty}\psi_t$ , und somit benötigt man 2 verschiedene Heisenberg-Bilder, eines das mit dem Schrödinger-Bild übereinstimmt $t = -\infty$ , und ein zweites, das mit dem Schrödinger-Bild bei übereinstimmt $t = +\infty$ . Er bleibt also nicht immer im Heisenberg-Bild, sondern nutzt meistens das Schrödinger-Bild und am Ende anscheinend 2 verschiedene Heisenberg-Bilder. Es ist jedoch bekannt , dass das Schrödinger-Bild aufgrund von Vakuumpolarisationseffekten in relativistischen qft nicht existiert !!! Was bleibt also von der Haag-Ruelle-Theorie übrig???

David z

Hallo Andrea, bitte bearbeite deine Beiträge nicht so sehr. In den meisten Fällen sollten Sie einen einzelnen Beitrag nicht mehr als drei- oder viermal bearbeiten. Wenn Sie eine Bearbeitung vornehmen, gehen Sie alle erforderlichen Änderungen auf einmal durch und nehmen Sie sie vor, anstatt nur eine kleine Änderung bei jeder Bearbeitung vorzunehmen.

Antworten (3)

Warum gibt es eine Zeitabhängigkeit in den Heisenberg-Zuständen der Haag-Ruelle-Streutheorie?

Hallo Andrea, bitte bearbeite deine Beiträge nicht so sehr. In den meisten Fällen sollten Sie einen einzelnen Beitrag nicht mehr als drei- oder viermal bearbeiten. Wenn Sie eine Bearbeitung vornehmen, gehen Sie alle erforderlichen Änderungen auf einmal durch und nehmen Sie sie vor, anstatt nur eine kleine Änderung bei jeder Bearbeitung vorzunehmen.

Pedro Lauridsen Ribeiro · Answer 1

Das auf Seite 76 von Haags Buch erwähnte "Heisenberg-Bild" gilt für den Ein-Teilchen-Hilbert-Raum $\mathcal{H}^{(1)}$ und daher nur zu den "in"- und "out"-Hilbert-Räumen, das heißt, zeitweise $t\to\pm\infty$ bzw. Die Diskussion auf Seite 77 bezieht sich wiederum auf Zustände im interagierenden (Wightman-GNS) Hilbert-Raum. Dazu muss angemerkt werden, dass die Diskussion auf Seite 77 (insbesondere Formeln (II.3.3) und (II.3.4)) nicht sehr präzise ist – was Haag eigentlich meint, ist der Inhalt von Theorem 4.2.1, S. 88 , wie ( EDIT ) werde ich weiter unten näher erläutern.

Die jüngste Erweiterung Ihrer Frage hat die Probleme, die Sie beunruhigen, deutlicher gemacht. Zunächst sind einige Punkte zu beachten, bevor Sie Ihre Fragen 1)-4) konzeptionell streng bewerten:

Es scheint, dass Sie es nur mit Observablen mit einem reinen Punktspektrum zu tun haben. Die meisten Observablen sind nicht von dieser Art - Punkte im kontinuierlichen Teil des Spektrums sind keine Eigenwerte in dem Sinne, dass sie entsprechende Eigenvektoren haben. Sie haben sogenannte korrespondierende "verallgemeinerte Eigenvektoren", die streng genommen nicht im Hilbert-Raum enthalten sind.
Bei QFT sind die Grenzen $\lim_{t\to\pm\infty}A(t)$ existieren für die relevanten Observablen in der Regel nicht im Operatorsinn. Dies ist hauptsächlich auf den Satz von Haag zurückzuführen , der uns sagt, dass es in der QFT kein Wechselwirkungsbild gibt. Das ist der technische Grund für den Zeitparameter $t$ in Zustandsvektoren auftreten müssen, da die Annäherung an die asymptotische Grenze nur durch Anwendung möglich ist $A(t)$ zuerst in einen Zustand (nämlich den Vakuumzustand).

Die obigen Punkte zeigen, dass es ziemlich problematisch ist, die Schritte H1)–H2) streng zu machen (insbesondere im Zusammenhang mit QFT). H3)-H4) sind dagegen nicht so weit entfernt.

Zweitens möchte ich einige konzeptionelle Punkte zur Haag-Ruelle-Streutheorie hervorheben. Ich tue dies auf die Gefahr hin, ein bisschen pedantisch zu werden, aber ich möchte auf eigenständige Weise einen genauen Kontext setzen. Erinnern Sie sich, dass die Haag-Ruelle-Theorie ein Streuungsrahmen für Quantenfeldtheorien ist . Unabhängig davon, ob Sie mit Wightman-Feldern oder einem Haag-Kastler-Netz von C*-Algebren arbeiten, bedeutet dies, dass alle (verschmierten) Felder und alle (lokalen) Observablen als in einem bestimmten Bereich der Raumzeit lokalisiert gedacht werden , in der Sinn relativistischer Mikrokausalität: Observable, die in kausal disjunkten Raum-Zeit-Regionen lokalisiert sind, sollten pendeln(Bei verschmierten Feldern pendeln sie je nach Drehung entweder oder anti-pendeln). Dies unterscheidet sich grundlegend von der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik. Insbesondere sollte daran gedacht werden, dass jede gegebene lokale Observable innerhalb eines bestimmten Raumbereichs und innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls gemessen wird. Eine "scharfe Zeit"-Lokalisierung für Observable ist nur für freie Felder möglich, die natürlich eine triviale Streutheorie haben. Mit anderen Worten, lokale Observablen und verschmierte Felder in der QFT sind immer im Heisenberg-Bild, aber ihre zeitliche Lokalisierung ist normalerweise nicht "scharf".

Gegeben sei ein lokal beobachtbares oder verschmiertes Feldpolynom $A$ in einem Raum-Zeit-Bereich lokalisiert $\mathscr{O}$ , hat der Effekt von Zeitübersetzungen (unter Verwendung der einheitlichen Zeitentwicklung der Theorie) einfach den Effekt , den Lokalisierungsbereich zu übersetzen $\mathscr{O}$ von $A$ in der Zeit - genauer gesagt, die Lokalisierungsregion von $A(t)$ Ist

Ö_{T} = {(X^{0} + T, X^{1}, X^{2}, X^{3}) | (X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in Ö} .

$\mathscr{O}_t=\{(x^0+t,x^1,x^2,x^3)\ |\ (x^0,x^1,x^2,x^3)\in\mathscr{O}\}\ .$ Allgemeiner, wenn

U (x)

$U(x)$ ist der unitäre Operator, der die Raum-Zeit-Übersetzung durch implementiert

x = (t, x)

$x=(t,\mathbf{x})$ , Dann

A_{x} = U (x) A U (x)^{*}

$A_x=U(x)AU(x)^*$ ist lokalisiert in

O + x

$\mathscr{O}+x$ (so dass

O + (t, 0) = O_{t}

$\mathscr{O}+(t,\mathbf{0})=\mathscr{O}_t$ ). Dies beantwortet (hoffentlich) Ihre Frage 1).

Die Ein- und Ausgabe eines Streuexperiments erfolgt jedoch über große Zeiten und große Entfernungen vom Streuzentrum, daher ist es angemessener, von Impulslokalisierung zu sprechen , wenn es um Streuzustände geht. Um letzteres zu konstruieren, benötigen wir lokale Observable oder verschmierte Feldpolynome mit einer Übergangsamplitude ungleich Null zwischen dem Vakuumzustand und einem Ein-Teilchen-Unterraum mit Masse (sagen wir) $m>0$ , deren Existenz eine der Annahmen der Haag-Ruelle-Theorie ist. Solche Operatoren existieren dank des Satzes von Reeh-Schlieder. Man lokalisiert dann einen solchen Operator (nennen wir ihn $Q$ ) in einem Energie-Impuls-Bereich $\widehat{K}$ disjunkt vom Rest des Energie-Impuls-Spektrums (denken Sie daran, dass es eine offene Nachbarschaft gibt $m^2-\epsilon<p^2<m^2+\epsilon$ , $0<\epsilon<m^2$ im Energie-Impuls-Raum, dessen einzige Punkte $p$ die zum Energie-Impuls-Spektrum gehören, liegen genau in der Massehülle $p^2=m^2$ , durch die Massenlückenannahme der Haag-Ruelle-Theorie) durch Verschmieren der operatorwertigen Funktion $x\mapsto Q_x$ mit temperierter Testfunktion $f$

Q_{F} = \int_{R^{4}} F (X) Q_{X} D^{4} X

$Q_f=\int_{\mathbb{R}^4}f(x)Q_x\mathrm{d}^4 x$

dessen Fourier-Transformation $\hat{f}$ ist von der Form $\hat{f}(p)=h(p^2)\tilde{f}(\mathbf{p})$ , Wo $h$ ist eine reibungslose Funktion auf $\mathbb{R}$ darin unterstützt $(m^2-\epsilon,m^2+\epsilon)$ Und $\text{supp}\tilde{f}$ ist so das $\{(\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2},\mathbf{p})\ |\ \mathbf{p}\in\text{supp}\tilde{f}\}\subset\widehat{K}$ . Das erhält man, wenn $|\Omega\rangle$ ist dann der Vakuumvektor $Q_f|\Omega\rangle$ ist ein Ein-Teilchen-Zustand mit Impulswellenfunktion $\tilde{f}(\mathbf{p})$ . Wir schreiben dann $Q(t,f)=(Q_f)_t$ - da der Ein-Teilchen-Unterraum unter der Wirkung der Translationsgruppe invariant ist, $Q(t,f)|\Omega\rangle$ ist immer noch ein Ein-Teilchen-Zustand mit Impulswellenfunktion $e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}}\tilde{f}(\mathbf{p})$ . An dieser Stelle soll deutlich werden, dass die genaue Form der lokalen Observablen $Q$ ist nicht wichtig.

Eine Möglichkeit, über das Beobachtbare nachzudenken $Q(t,f)$ lautet wie folgt: Bewerbung $Q(t,f)$ fügt dem Vakuumzustand einen "Energie-Impuls-Klumpen" hinzu, lokalisiert in $\widehat{K}\cap\{p^2=m^2\}$ . Nach dem Unschärfeprinzip $Q_f$ kann keine lokale Observable sein, aber es ist "fast lokal" in dem Sinne, dass der Kommutator mit jeder Observable, die in einem kausal disjunkten Bereich lokalisiert ist, bei großen Entfernungen "vernachlässigbar" sein sollte, mehr oder weniger wie temperierte Testfunktionen mit nicht kompakter Unterstützung ( zB Gaußsche). Der Effekt der Zeitumrechnung um einen Betrag $t$ besteht darin, dass sich das ungefähre Lokalisierungszentrum mit Verschiebungen räumlich zerstreut $t\mathbf{v}=t\mathbf{p}/m$ , Wo $\mathbf{p}$ gehört zur Unterstützung von $\tilde{f}$ . Stellen Sie es sich als einen sich ausbreitenden Haufen klassischer Masseteilchen vor $m$ in freier Bewegung bei Geschwindigkeiten $\mathbf{v}=\mathbf{p}/m$ . Dieses intuitive Bild kann mit Hilfe der Methode der stationären Phase verschärft werden.

Betrachtet man nun ein Operatormonom $Q(t,f_1)\cdots Q(t,f_n)$ , Wo $\hat{f}_j(p)=h(p^2)\tilde{f}_j(\mathbf{p})$ , $j=1,\ldots,n$ , man kann es sich als Hinzufügen vorstellen $n$ "Energie-Impuls-Bruchstücke" in den Vakuumzustand. Der entscheidende Punkt ist, dass, wenn die Stützen der $\tilde{f}_j$ sind alle disjunkt , die entsprechenden Lokalisierungszentren entfernen sich voneinander, so dass ihre Kommutatoren zu großen Zeiten vernachlässigbar werden. Also gewissermaßen die „fast lokalen“ Observablen $Q(t,f_j)$ werden "asymptotisch kompatibel" und die obigen "Energie-Impuls-Blöcke" werden zu großen Zeiten effektiv nicht-wechselwirkend, wodurch sie asymptotisch zu entstehen $n$ -Teilchenzustände. Präzisiert wird dies durch die Aussage, dass

ψ_{T} = Q (T, F_{1}) \dots Q (T, F_{N}) | Ω ⟩

$\psi_t=Q(t,f_1)\cdots Q(t,f_n)|\Omega\rangle$ konvergiert zu

n

$n$ -Teilchenzustände mit Impulswellenfunktionen

{\tilde{f}}_{j} (p)

$\tilde{f}_j(\mathbf{p})$ ,

j = 1, \dots, n

$j=1,\ldots,n$ als

t \to \pm \infty

$t\to\pm\infty$ für jede

n

$n$ . An endliche , aber große Zeiten mag man denken

ψ_{t}

$\psi_t$ als ein Zustand, der um die Zeit herum eine Antwort ungleich Null ergibt

t

$t$ aus einer Zufallsanordnung von

n

$n$ Detektoren mit "Impulserfassungsfenstern", die in den Trägern der enthalten sind

{\tilde{f}}_{j}

$\tilde{f}_j$ 's und (ungefähre) raumzeitliche Lokalisierungsregionen, die in denen der enthalten sind

Q (t, f_{j})

$Q(t,f_j)$ 's, ergibt aber eine "vernachlässigbare" Antwort aus einer ähnlichen Zufallsanordnung von

n + 1

$n+1$ Detektoren. Diese Interpretation kann sogar (etwas tautologisch) verwendet werden, um eine operative Definition dessen bereitzustellen, was ein Partikel in der QFT ist. Dies (hoffe ich auch) beantwortet Ihre Frage 2).

Jetzt sind wir auch in der Lage, die Fragen 3) und 4) zu beantworten. In der QFT wird der Hilbert-Raum erzeugt, indem alle verschmierten Feldoperatorpolynome oder alle lokalen Observablen ( nicht unbedingt kompatibel!) auf den Vakuumzustand angewendet werden. Tatsächlich sind solche Zustände nach dem Reeh-Schlieder-Theorem eine Gesamtmenge im Hilbert-Raum, selbst wenn wir uns auf eine einzelne Raum-Zeit-Region mit nicht leerer kausaler Ergänzung beschränken. Die "in"- und "out"-Hilbert-Räume in der Haag-Ruelle-Theorie werden jedoch erhalten, indem auf den Vakuumzustand eine spezielle Teilmenge von "fast lokalen" Operationen angewendet wird - nämlich Polynome in $Q(t,f_j)$ ist für alle $f_j$ wie oben - und nehmen jeweils die asymptotischen Grenzen $t\to\pm\infty$ . Wie im vorherigen Absatz besprochen, die Observables $Q(t,f_j)$ sind nur "asymptotisch" kompatibel, aber wie ich eingangs angedeutet habe, muss dieses Bild cum grano salis aufgenommen werden, da die Operatorgrenzen liegen $\lim_{t\to\pm\infty}Q(t,f_j)$ sind in der Regel nicht vorhanden. Da die "in"- und "out"-Hilbert-Räume jedoch als Unterräume des interagierenden Hilbert-Raums erhalten werden, kann jeder "in"-Zustand mit beliebiger Genauigkeit durch Anwenden lokaler Operationen vorbereitet werden (selbst in einem einzelnen Raum-Zeit-Bereich mit nicht leerer Kausal Komplement) zum Vakuumzustand. Dies kommt einer positiven Antwort auf Ihre Frage 3) am nächsten. Wie bei Frage 4) bezieht sich dies darauf, ob die „in“- und „out“-Hilbert-Räume mit dem gesamten interagierenden Hilbert-Raum zusammenfallen, das heißt, ob unsere Feldtheorie asymptotisch vollständig ist . Dies ist normalerweise eine zusätzliche Annahme, die außer in trivialen (dh freien) Fällen nie bewiesen wurde. Wir wissen jedoch, dass immer dann, wenn ein Modell gebundene Zustände, Solitonen usw.

Abschließend muss ich darauf hinweisen, dass die Behandlung der Haag-Ruelle-Streuungstheorie in Haags Buch an Teilen (wie diesen) fast telegraphisch ist und nicht wirklich ein guter erster Ort, um dieses Thema zu lernen. Bessere Referenzen sind Abschnitt XI.16, S. 317-331 Band III ( Scattering Theory ) des Buches Methods of Modern Mathematical Physics von Michael Reed und Barry Simon (Academic Press, 1979) und Kapitel 5 des Buches Mathematical Theory of Quantum Fieldsvon Huzihiro Araki (Oxford University Press, 1999), insbesondere in obiger Reihenfolge - führen Reed und Simon die pädagogisch vereinfachende Annahme ein, dass der Feldoperator selbst zwischen dem Vakuum und dem Ein-Teilchen-Hilbert-Raum (physikalisch die in der Asymptotik auftretenden Teilchen) interpoliert Zustände sind in Bezug auf das Feld nicht "zusammengesetzt"). Wie oben diskutiert, kann diese Annahme mit Hilfe des Reeh-Schlieder-Theorems umgangen werden.

Danke für die Hinweise, aber es geht mir jetzt nicht um mathematische Manipulationen, sondern um die physikalische Darstellung des Streuproblems im Heisenberg-Bild und die Interpretation der Ergebnisse. Wie kann man Streuung im Heisenberg-Bild wirklich aussagen/beschreiben, wenn die Zustandsvektoren zeitlich konstant sind?! Warum sind die Zustandsvektoren zeitabhängig? Kehren wir zum Schrödinger-Bild zurück?
Die Streuzustände werden durch einen zeitabhängigen, nahezu lokalen „Ein-Teilchen-Erzeugungsoperator“ konstruiert $q_{i,\alpha}(h_i,t)$ (siehe Formel (II.4.15) auf S. 88), die dann wie in Formel (II.4.17) auf den Vakuumvektor angewendet werden - deshalb arbeitet man bei der Haag-Ruelle-Streuung wirklich im Heisenberg-Bild. Die resultierenden (nicht faktorisierten) Zustände haben die auf Seite 77 angegebene ungefähre Lokalisierung und sind eindeutig zeitabhängig, aber die Zeitabhängigkeit wird in der asymptotischen Grenze entfernt $t\to\pm\infty$ . Allein durch das Lesen der Seiten 76-77 kann man sich das obige Bild nicht machen.
Ich weiß das alles. Ich habe bis zum Ende gelesen, aber es gibt immer noch ein Interpretationsproblem. In der im Schrödinger-Bild formulierten Streutheorie muss man zeigen, dass eine Willkür vorliegt $|\Psi (t)\rangle$ konvergiert zu asymptotischen Zuständen, wenn $|t|$ wird unendlich. Aber im Sch-Bild $|\Psi\rangle$ IST zeitabhängig. Im Buch und überall in der HR-Theorie konstruiert man eine Zeitabhängigkeit $|\Psi (t)\rangle$ und zeigt, dass es Grenzen hat, aber wie ist die physikalische Interpretation dieses Vektors im Heisenberg-Bild? Ist dieser zeitabhängige Vektor außerdem der allgemeinste, den er haben kann?
Ihre Einwände zu H1) und H2) sind unbegründet. Siehe EDIT 2 oben.

Phönix87 · Answer 2

Über die folgende Argumentation liegen mir derzeit leider keine genauen Hinweise vor, sondern nur einige Notizen aus Vorlesungen von S. Doplicher.

Die Haag-Ruelle-Streutheorie geht von der Beobachtung aus, dass Observablen nicht zur Konstruktion asymptotischer Zustände aus dem Vakuum verwendet werden können, da sie die Superselektionssektoren invariant lassen. Daher muss man Feldoperatoren verwenden. Überlegungen zur Fourier-Transformation führen zu dem Schluss, dass bei gegebenem Feldoperator $B$ , muss man einen quasi-lokalen Operator konstruieren $\tilde B$ aus Lokalisierungsdaten für einen Ein-Teilchen-Zustand [die Details sollten in der Originalarbeit von Haag-Ruelle enthalten sein]. Ein Ein-Teilchen-Zustand ist dann einfach aufgebaut als

ϕ = B Ω

$\phi = B\Omega$

Wir konstruieren nun den Heisenberg-Zustand. Damit meine ich einen Zustand, der sich zeitlich nicht verändert. Dies kann durch Berücksichtigung der zur Klein-Gordon-Feldgleichung gehörigen Kontinuitätsgleichung und insbesondere durch Berücksichtigung des daraus resultierenden zeitunabhängigen Skalarprodukts erreicht werden. Um konkret zu sein, nehmen Sie den Ein-Teilchen-Zustand $phi$ und einstellen

B_{ϕ} (T) Ω := \int_{R^{3}} \bar{ϕ (X)} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} U (X, ICH) B Ω D^{3} X,

$B_\phi(t)\Omega := \int_{\mathbb R^3}\overline{\phi(x)}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}U(x,I)B\Omega\ \text d^3\mathbf x,$ Wo

U

$U$ ist eine Darstellung der Poincaré-Gruppe im Fock-Raum. Beachten Sie, dass im Allgemeinen

B_{ϕ} (t)

$B_\phi(t)$ hängt von der Zeit ab, aber von der Konstruktion

B_{ϕ} (t) Ω

$B_\phi(t)\Omega$ Gewohnheit. Somit

ψ := B_{ϕ} (T) Ω = B_{ϕ} (0) Ω, \forall T \in R

$\psi:=B_\phi(t)\Omega = B_\phi(0)\Omega,\qquad\forall t\in\mathbb R$ in der Praxis, und so kann man die asymptotische Grenze erhalten.

Die Konstruktion von $n$ -Teilchenzustände basiert auf der Wahl von Einteilchenzuständen mit disjunkter Unterstützung im Impulsraum. Damit soll gewährleistet werden, dass die Teilchen im asymptotischen Grenzfall räumlich gut getrennt ( weit auseinander gelesen ) und praktisch frei, dh nicht wechselwirkend, sind. Der Zustand ist dann von der Form

Ψ^{T} := B_{1 ϕ_{1}} (T) \dots B_{N ϕ_{N}} (T) Ω,

$\Psi^t := B_{1\phi_1}(t)\cdots B_{n\phi_n}(t)\Omega,$ Wo

B_{k}

$B_k$ Und

ϕ_{k}

$\phi_k$ ist eine Auswahl von quasi-lokalen Operatoren und Lösungen für die Klein-Gordon-Gleichungen, die wie oben beschrieben ausgeführt werden.

Die Clustereigenschaft zeigt dann, dass der obige Zustand die Form eines Produktes von Zuständen hat, also gesetzt werden kann

Ψ^{In} = ψ_{1} \times^{In} \dots \times^{In} ψ_{N} := lim_{T \to - \infty} Ψ^{T}

$\Psi^{\text{in}} = \psi_1\times^{\text{in}}\cdots\times^{\text{in}}\psi_n:=\lim_{t\to-\infty}\Psi^t$ und ähnlich für die ausgehenden

n

$n$ -Teilchenzustände.

Danke, dass Sie die Dinge viel klarer gemacht haben, aber es gibt immer noch das Problem mit $\Psi^{t}$ . Es hängt offensichtlich von der Zeit ab und kann daher nicht im Heisenberg-Bild sein.
Der $t$ In $\Psi^t$ ist nur ein Etikett. Wie bereits gesagt, $B_\phi(t)\Omega = B_\phi(0)\Omega$ . Die Zeitabhängigkeit liegt nur im Produkt der quasi-lokalen Operatoren, aber sobald dieses Produkt den Vakuumvektor berührt, wird es durch Konstruktion im asymptotischen Limes durch die Clustering-Eigenschaft zeitunabhängig.
Ich mag es sehr, aber ich bin etwas verwirrt darüber, das Limit zu nehmen $-\infty$ Dann. Warum sollte man die Grenze nehmen, wenn $\Psi^{t} = \Psi^{0}$ für alle $t$ ?
Nicht für jeden $t$ im Fall der $n$ -Teilchenzustand. Man muss sich die Hypothese über den Träger im Impulsraum der Einzelteilchen-Wellenfunktionen und die Clusterbildung zunutze machen, um dann die Eigenschaft zu nutzen $B_\phi(t)\Omega = B_\phi(0)\Omega$ für alle $t$ .
Wenn nur die asymptotische Grenze zeitunabhängig ist, dann für endliche Zeit $\Psi^{t}$ kommt drauf an $t$ und es kann nicht im Heisenberg-Bild sein.
Aber die asymptotischen Zustände sind das, worum es in der HR-Theorie geht, oder? Dies ist, was Sie verwenden, um dann die zu definieren $S$ Matrix als unitären Operator, der einen "in"-Zustand in den entsprechenden "out"-Zustand dreht (Vorbehalte: 1. einige Leute verwenden die entgegengesetzten Konventionen; 2. asymptotische Zustandsvollständigkeit sollte angenommen werden).
Ja, bei der Streuung geht es um asymptotische Zustände, aber HR scheint mir wie die Streuung im Schrödinger-Bild zu sein, während der springende Punkt des axiomatischen qft darin besteht, alles im Heisenberg-Bild zu tun, wie es Ekstein tat. Dirac hat ein Papier, in dem er zeigt, dass Schrödinger-Bilder aufgrund von Vakuumpolarisationseffekten aus qft verbannt werden sollten.
Es gibt eine sehr wichtige Frage, die ich vergessen habe zu stellen: Ist die Norm des Vektors $\Psi^{t}$ gleich 1 für alle $t$ ? Alle Referenzen oder ein Beweis für diese Frage wären sehr willkommen.
Es spielt keine Rolle, wie der Zustand dem Vektor zugeordnet ist $\Psi^t$ ist aufgebaut als $\omega_{\Psi^t}(A)=\frac{(\Psi^t,A\Psi^t)}{(\Psi^t,\Psi^t)}$ .
Entschuldigung, aber die Zeitentwicklung im QM muss einheitlich sein! Ansonsten natürlich, dass jeder Vektor mit endlicher Norm normalisiert werden kann. Dies wirft eine weitere Frage auf: Ist die Norm des Vektors $\Psi^{t}$ endlich für alle Zeiten $t$ ? Auch hier wären Referenzen oder tatsächliche Beweise sehr willkommen.
Wie gesagt, ich habe keine Referenzen zur Hand. Beachten Sie jedoch, dass die Norm des Vektors durch die Wahl der Funktion gesteuert werden kann $\phi$ . Es sollte nicht allzu schwer sein, eine Schätzung aus dem definierenden Ausdruck zu erhalten.
Man kann eine Funktion wählen $\phi$ , in der Tat, aber einmal gewählt, kann es nicht mehr geändert werden und entwickelt sich mit der Zeit. Meine Frage bleibt also. Auch hier wäre jeder Beweis sehr willkommen.
Ich habe eine Skizze des Beweises in Haags Buch gefunden, und die Norm ist tatsächlich endlich. Ich möchte mich ganz herzlich bei Ihnen für all die Hilfe bedanken, die Sie mir gegeben haben. Ich schätze es sehr!

nicht · Answer 3

Dies ist kein maßgeblicher Kommentar zu Ihren Auslegungsbedenken. Die Schrödinger-Eigenschaften des zeitabhängigen Zustands $\Psi^t$ werden eigentlich nie benutzt. Wie oben kommentiert, die Grenze $\lim_{t\rightarrow\pm\infty}A(t)$ existiert normalerweise nicht im Operatorsinn, daher wirkt man auf einen Heisenberg-Zustand ein, um eine wohldefinierte Größe zu erhalten. Daher würde ich interpretieren $\Psi^t$ als Symbol, das im Beweis durch die eigentliche Definition ersetzt werden muss und somit im Heisenberg-Bild bleibt.

Warum gibt es eine Zeitabhängigkeit in den Heisenberg-Zuständen der Haag-Ruelle-Streutheorie?

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