Was ist die Beschreibung der Messung im Heisenberg-Bild?

Dies ist eindeutig eine philosophische Frage, daher erlaube ich mir, meine persönliche Meinung zu äußern (und nicht nur meine, um ehrlich zu sein).

Das Heisenberg-Bild ist tatsächlich viel bequemer für die Zwecke der Beschreibung von Messungen als das Schrödinger-Bild. Dies liegt daran, dass es eine schöne Trennung zwischen Messungen und der einheitlichen Quantenentwicklung bietet.

Betrachten Sie zum Beispiel ein relativistisches System (eine Art Feldtheorie). Wie würden Sie Messungen Lorentz-invariant beschreiben? Sie würden wahrscheinlich die Schrödinger-Gleichung aufschreiben, die (wenn auch nicht offensichtlich) Lorentz-invariant sein wird. Aber versuchen Sie, den Kollaps Lorentz-invariant zu beschreiben, und Sie werden scheitern. Die naive Logik (auch bekannt als Messen der Position des Teilchens) ist einfach nicht mit der Speziellen Relativitätstheorie vereinbar.

Der weniger naive Standpunkt hier ist, dass wir nicht nur nicht wissen, was der Zusammenbruch einer Wellenfunktion ist und wie er sich verhält, sondern dass wir auch skeptisch sind, ob er irgendeine physikalische Bedeutung hat. Messungen können durchaus subjektiv sein (der sogenannte psi-epistemische Standpunkt, zB Quanten-Bayesianismus). Die Frage, welche Interpretation des Zusammenbruchs der Wellenfunktion die richtige ist, hat eine lange und sehr traurige Geschichte und sollte am besten unberührt bleiben, da sie bekanntermaßen lange und bedeutungslose Diskussionen provoziert. Wir wissen einfach nicht, wie Messungen durchgeführt werden, wie sie sich auf Raum und Zeit beziehen (erfolgen sie in der Zeit oder nicht?).

Das Heisenberg-Bild bietet einen großartigen Einblick, wie wir diese seltsamen und wahrscheinlich philosophischen (eher als physikalischen) Fragen von den tatsächlich wichtigen und falsifizierbaren Dingen wie der einheitlichen Evolution trennen könnten. Anstelle von Wellenfunktionen entwickeln sich Operatoren mit der Zeit. Das ist genial! Operatoren werden durch Messungen/Kollaps nicht beeinflusst, sie sind einfach da und ihre Eigenwerte entsprechen beobachtbaren Werten physikalischer Größen.

Zustände (oder Dichtematrizen, wenn Sie es wünschen) hingegen sind ein für alle Mal gegeben. Sie entsprechen (z. B. im QBismus) der vollständigen Sammlung von Informationen, die wir besitzen, und damit unseren Erwartungen an die Welt um uns herum.

Dies ermöglicht es, Messungen auf beliebige Weise zu behandeln (sogar zu betrachten, dass sie jenseits von Raum und Zeit existieren, was bedeutet, dass ich in relativistischen Theorien leicht über Messungen sprechen könnte). Ich muss nicht länger daran denken, dass sie zwischen den Stadien der einheitlichen Evolution geschehen. Sie "passieren" möglicherweise nicht einmal, da dieses Wort eine Hintergrundzeitachse benötigt, um seine Bedeutung zu erlangen. Sie sind einfach da, das ist es.

Abschließend möchte ich sagen, dass das Heisenberg-Bild eine schöne Trennung zwischen einheitlicher Evolution und Kollaps ermöglicht, was uns sehr hilft, zwischen objektiver Realität (Quantenoperatoren) und Messungen (deren Natur und Objektivität Gegenstand von ist) zu unterscheiden eine endlose Debatte).

Indem Sie Ihre Frage stellen, legen Sie den Finger genau auf die Unvollständigkeit der Quantentheorie, die Einstein so sehr beunruhigte. Analog zu einem „Code-Geruch“ kann man es sich als „Theorie-Geruch“ vorstellen, nur dass Einstein die Quelle des Geruchs nie genau bestimmen konnte. Ihre Beobachtung schon: Das Heisenberg-Bild ist eigentlich keine Messtheorie! In der Literatur wirst du nichts finden. Es ist eine echte Lücke.

Warum ist die Kluft geblieben und doch weitgehend unbemerkt geblieben? Die Antwort läuft auf die Tatsache hinaus, dass wir ein Folklore-Ergebnis haben, das besagt, dass „das Heisenberg- und das Schrödinger-Bild gleichwertig sind“ – so dass wir dem, was im Heisenberg-Bild passiert, keine Aufmerksamkeit schenken müssen, weil „es bereits berücksichtigt ist für im Schrödinger-Bild".

Sie können dort den Zirkelschluss sehen, der durch diese stillschweigende Argumentationslinie begangen wird, die zu der Lücke führt.

Schauen wir uns das Äquivalenzergebnis genauer an – insbesondere im Hinblick auf die Beantwortung der Frage, was eigentlich in der Äquivalenz enthalten ist und was nicht.

Von Neumann legte eine Formulierung für die Quantentheorie vor, die zwei Axiome aufstellte: das Evolutionspostulat und das Projektionspostulat. Ersteres ist der Ort, an dem Sie die Dynamik der Quantentheorie finden, während letzteres die Messtheorie umfasst. Ausnahmslos wird diese axiomatische Formulierung angesichts der oben erwähnten Voreingenommenheit in das Schrödinger-Bild eingerahmt. Darin wird ein Quantensystem durch einen Zustand beschrieben, der sich in einer "historischen Zeit" entwickelt, wobei diese Entwicklung durch die Schrödinger-Gleichung gegeben ist.

Die verschiedenen Größen, die ein physikalisches System beschreiben, werden in diesem Rahmen als Operatoren dargestellt, die auf den Zustand einwirken, und in zeitlose Form gebracht. Die Zeitabhängigkeit der durch diese Operatoren repräsentierten Größen wird von der Zeitabhängigkeit der Zustände geerbt, auf die sie wirken.

Diese Art, die Grundlage zu legen, stellt das Projektionspostulat auf, das besagt, dass die Messungen einer Größe, die an einem System durchgeführt werden, durch die Aktion des Bedieners auf dem System so dargestellt werden, dass das Ergebnis ein ergibt Eigenzustand des Systems und kurbelt den entsprechenden Eigenwert an. Das heißt, jeder Messung ist eine "Projektion" zugeordnet.

Eine Standarddarstellung für diese Projektion ist die Born Rule.

Wie und warum dies zustande kommt (und der Status der Born Rule selbst) ist das zentrale Thema der Messtheorie, und wir werden uns hier nicht mit den Details befassen, weil es tangential zu der Tatsache ist, dass es etwas geben muss dort, und dass dieses Etwas nicht allein durch das Evolutionspostulat vollständig erklärt wird (und niemals werden kann).

Eine der Antworten, die Sie bereits erhalten haben, "wer hat die Frage nicht beantwortet", hat richtigerweise darauf hingewiesen, wie deutlich diese Diskrepanz wird, wenn Sie sie im Heisenberg-Bild wiedergeben. Es ist eigentlich klarer, als sie andeuten: nämlich, dass es eine regelrechte Lücke im Heisenberg-Bild gibt, die zeigt, dass uns etwas Wichtiges fehlt und dass die Quantentheorie unvollständig ist.

Es wird viel darüber gesprochen, dass die „historische Zeit“ der Quantentheorie völlig im Widerspruch zu der Sichtweise der Zeit als „Blockuniversum“ oder „all-da-Zeit“ steht, die die Relativitätstheorie voranzutreiben scheint. Aber diese Ansicht ist eigentlich ein Ablenkungsmanöver und das Schisma wurde sowohl fehl am Platz als auch falsch identifiziert.

Die „historische Zeit“ ist kein Merkmal der Quantentheorie selbst, sondern des Schrödinger-Bildes; und das Schisma, das die Diskrepanz in der Zeitbetrachtung mit sich bringt, ist überhaupt kein Schisma zwischen Quantentheorie und Relativitätstheorie, sondern tatsächlich ein Brudermörder-Schisma innerhalb der Quantentheorie selbst – zwischen dem Heisenberg- und dem Schrödinger-Bild! Denn das Heisenberg-Bild behandelt die Zeit tatsächlich als "Blockzeit" und stimmt diesbezüglich mit der Relativitätstheorie überein.

Im Heisenberg-Bild sind Zustände zeitlos. Ein Zustand repräsentiert die gesamte Historie eines Systems. Stattdessen sind es die Operatoren, die physikalische Größen darstellen, die diese Zeitabhängigkeit enthalten – aber mit einem bemerkenswerten Unterschied: Die Art und Weise, wie sie diese Abhängigkeit enthalten, stimmt hinreichend gut damit überein, wie sie auch die räumliche Abhängigkeit enthalten, mit der alle Koordinaten behandelt werden können gleichberechtigt. Es ist eine „alles da“-Zeit, wie die Relativitätstheorie.

Die Äquivalenz zwischen dem Schrödinger- und dem Heisenberg-Bild betrifft nur das Evolutionspostulat. Die Dynamik eines Quantensystems wird im Heisenberg-Bild durch die Heisenberg-Gleichung dargestellt, und die Äquivalenz besteht zwischen ihr und der Schrödinger-Gleichung. Im Heisenberg-Bild "entwickelt" sich das System jedoch nicht mit der Zeit. Stattdessen wird die Heisenberg-Gleichung eher als Beschreibung der Entfaltung des Systems in der Raumzeit angesehen, da alle Koordinaten gleichberechtigt sind.

Der Grund, warum dieses Folklore-„Äquivalenz“-Ergebnis irreführend und falsch angewendet ist, liegt darin, dass es keine Äquivalenz in Bezug auf das Projektionspostulat gibt, da es im Heisenberg-Bild weder eine geborene Regel noch eine Messtheorie gibt. Die beiden Bilder sind nicht gleichwertig, weil eines davon unvollständig ist - das Heisenberg-Bild.

Es muss mit zusätzlicher Infrastruktur auf eine höhere Form gehoben werden. Wenn diese Infrastruktur hinzugefügt wird, wodurch das Heisenberg-Bild zu einer erweiterten Version erhoben wird, die ausreichend ausgestattet ist, um die Born Rule aufzunehmen, geht die resultierende Ergänzung über das hinaus, was im Schrödinger-Bild vorhanden ist, und zeigt dadurch die Lücke, die auch dieses hat.

Also, was brauchen wir mehr? Um dies zu beantworten, werfen wir einen genaueren Blick auf das Projektionspostulat.

Das Projektionspostulat ist nicht nur dazu da, eine Verbindung und Erdung in der Welt herzustellen, um empirische Aussagen extrahieren zu können. Der eigentliche Sinn des Postulats besteht darin, auch eine Abhängigkeit zwischen Projektionen zu erzwingen. Wenn Projektion$a$kommt nach Projektion$b$- insbesondere wenn die damit verbundenen Messungen gegenseitig nicht kommutierend sind - dann benötigen wir das Ergebnis von$b$zuerst, bevor wir uns bewerben$a$. Projektionen speisen sich in andere Projektionen ein. Wenn eine solche Abhängigkeitsbeziehung auftritt, bezeichnen wir sie als$b → a$.

Wenn Sie versuchen, dies auf zeitlose Weise zu formulieren, ist das nächste Äquivalent zu dem, was Sie wollen, die Mathematik, die in der Formulierung von Consistent Histories verwendet wird. Die Mathematik, die für ihre Version der Born Rule verwendet wird, ist im Wesentlichen die gleiche wie die, die wir hier wollen, aber die Formulierung selbst geht einen anderen Weg als das, was wir wollen und brauchen.

Das Heisenberg-Bild muss also auf eine höhere Form mit mehr Infrastruktur gehoben werden, die - als absolutes Minimum - die Annahme beinhaltet, dass es eine Reihe von "Projektionen" gibt. Ein Quantensystem wird nicht nur durch die Variablen beschrieben, aus denen es besteht (die durch Operatoren repräsentiert werden) und die Dynamik, die seine Entfaltung beschreibt, sondern auch durch eine Beschreibung aller Projektionen, denen das System unterliegt.

Nennen Sie diese Menge$C$. Um etwas Kohärentes zu haben, können wir verlangen, dass die Projektionen in$C$bilden eine Teilbestellung unter der Relation$b → a$- keine Abhängigkeitsschleifen. Keine Zeitreisen für Projektionen.

Beachten Sie jedoch, dass dies die Existenz von Zeitreisen für die Koordinate "Blockzeit" des Heisenberg-Bildes nicht ausschließen muss!

Seit$C$teilweise geordnet ist, gibt es eine große Anzahl von Möglichkeiten, sie in zwei Teilmengen aufzuteilen$A, B ⊆ C$(die „nachher“- und „vorher“-Teilmengen), so dass (1)$C = A∪B$, (2)$A∩B = ∅$, (3) für Nr$a∈A, b∈B$ist das so$a→b$.

Bezeichnen Sie die Menge aller solcher Partitionen von$C$als$P(C)$.

Jede solche Partition$(A,B) ∈ P(C)$teilt Projektionen von$C$in diejenigen, die "bereits passiert sind" (die Teilmenge$B$) und diejenigen, „die noch nicht passiert sind“ (die Teilmenge$A$) - und kodiert als solches ein Konzept, mit dem wir bereits ziemlich vertraut sind - ein Konzept des Jetzt oder der Gegenwart . Jede Partition$\left(A,B\right)$ist ein Jetzt. So entsteht ein Anschein von "historischer Zeit", mit der zusätzlichen Infrastruktur.

Es gibt jedoch einen bemerkenswerten Unterschied: Diese Nows bilden keinen linearen Verlauf (außer in der nicht-relativistischen Quantentheorie). Stattdessen sind sie selbst teilweise geordnet$\left(A_0,B_0\right) → \left(A_1,B_1\right)$dann und nur dann, wenn$A_0 ⊇ A_1$Und$B_0 ⊆ B_1$. Das erste Jetzt enthält mehr Nachher und weniger Vorher als das zweite. Also, die$→$Beziehung an$C$erzeugt eine ähnliche Relation$→$über$P(C)$, selbst.

Von besonderer Bedeutung ist die Beziehung der unmittelbaren Sukzession, die wir bezeichnen werden$⇒$. Dies tritt auf, wenn nur eine Projektion,$c∈C$, vergeht von Vorher nach Nachher, und wir schreiben$\left(A_0,B_0\right) ⇒ \left(A_1,B_1\right)$dann und nur dann, wenn$A_0 = A_1∪\{c\}$Und$B_1 = B_0∪\{c\}$.

Mit dieser zusätzlichen Infrastruktur sind wir auch in der Lage, das Konzept eines Beobachters zu kodieren. Obwohl die Familie$P(C)$teilweise geordnet sein kann, enthält sie auch eine große Anzahl maximaler linearer Unterordnungen, von denen jede einer linearen Folge von Nows entspricht, wobei jede eine unmittelbare Folge der vorherigen ist. Da dies der Wahrnehmung der Welt durch Beobachter entspricht, können wir uns vorstellen, dass jeder physische Beobachter nicht nur auf einer maximalen linearen Kette residiert, sondern tatsächlich Teil der Kette ist , auf der er residiert.

Dies geht über den üblichen Begriff des Beobachters hinaus, der normalerweise davon ausgeht, dass er eine Start- und Endzeit hat. Ein Beobachter endlicher Dauer kann mit dem gesamten Satz maximaler linearer Ketten identifiziert werden, die das Jetzt des Beobachters enthalten. Wir unterscheiden also zwischen ewigen Beobachtern und endlichen Beobachtern, wobei letztere als Bündel der ersteren behandelt werden.

Mit dieser zusätzlichen Struktur haben wir also genug, um eine Heisenberg-Bildversion der Born Rule zu formulieren. Zunächst müssen wir den Begriff des Staates erweitern. Wie Sie bereits bemerkt haben, sollte eine Messung einen Heisenberg-Zustand "verändern". Wir werden dies direkt codieren, indem wir jetzt einen Zustand im erweiterten Heisenberg-Bild als Karte behandeln$Ψ$aus$P(C)$zu Heisenberg Bild heißt es. Nicht alle Karten sind zulässig. Eine zentrale Anforderung ist die$\left(A_0,B_0\right) ⇒ \left(A_1,B_1\right)$mit der Projektion$c$also derjenige, der vom Vorher zum Nachher verfiel$Ψ_0 = Ψ(A_0,B_0)$angeschlossen werden soll$Ψ_1 = Ψ(A_1,B_1)$durch Anwendung der Born Rule. Die geborene Regel kann angewendet werden, indem die Zustände transformiert werden$Ψ_0$Und$Ψ_1$zum Schrödinger-Bild für diese eine Projektion$c$allein und die Anwendung der Schrödinger-Bildversion der Born Rule darauf. Dies ordnet gemäß der Born-Regel dem Übergang von eine Wahrscheinlichkeit zu$Ψ_0$Zu$Ψ_1$, mit$Ψ_1$einem Eigenzustand der durch die Projektion identifizierten Messung zugeordnet ist$c$. Eine Karte$Ψ$An$P(C)$ist zulässig, wenn jeweils zwei Zustände, die mit zwei Nows in unmittelbarer Folge verbunden sind, eine Bedingung dieser Form erfüllen.

Jetzt haben wir also das Heisenberg-Bild in eine Form gehoben, die es erlaubt, eine Version der Born Rule zu formulieren; und fast wie von Zauberhand erhalten wir die Kodierung mehrerer anderer Konzepte, die bisher als nebulöse Ideen hinter den Kulissen lauerten und sich einer genauen Definition widersetzten.

Die wichtigsten Merkmale des Zusatzes sind, dass (1) zwischen Koordinatenzeit und historischer Zeit unterschieden wird, in gewissem Sinne sind es nicht die drei Dimensionen des Raums, die sich in der Zeit „entwickeln“, sondern das gesamte Raum-Zeit-Kontinuum (! ); (2) historische Zeit ist eine partielle Ordnung, die viele verschiedene lineare Progressionen enthält; (3) ein Begriff des Jetzt taucht auf, ebenso wie ein Begriff des Beobachters.

All dies ist notwendig, um Born in Heisenberg nur aufschreiben zu können, fehlt aber im Schrödinger-Bild - und zeigt damit, dass sowohl es als auch die Quantentheorie unvollständig sind, genau wie Einstein sagte. Diese Unvollständigkeit dreht sich genau um die Frage, die Sie gestellt haben.

Ich denke, dies hilft dabei, festzustellen, was die Unvollständigkeit ist und was hinzugefügt werden muss.