Was ist die genaue Verbindung zwischen dem bosonischen Fock-Raum und dem harmonischen Quantenoszillator?

Referenz: Fetter und Walecka, Quantum Theory of Many Particle Systems , Kap. 1

Der Hamiltonoperator für eine SHO ist:

$$H = \sum_{i = 0}^{\infty}\hbar \omega ( a_i^{+} a_i + \frac{1}{2} )$$

wo$\{a^+_i, a_i\}$sind die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die$i^\textrm{th}$Eigenzustand (Impulsmodus). Der Fock-Raum$\mathbf{F}$besteht aus Zuständen der Form:

$$\vert n_{a_0},n_{a_1}, ...,n_{a_N} \rangle$$

die durch wiederholtes Einwirken auf das Vakuum erhalten werden$\vert 0 \rangle$von den Leiterbetreibern:

$$\Psi = \vert n_{i_0},n_{i_1}, ...,n_{i_N} \rangle = (a_0^+)^{i_0} (a_1^+)^{i_1} \ldots (a_N^+)^{i_N} \vert 0 \rangle$$

Die Deutung von$\Psi$ist wie der Zustand, der enthält$i_k$Quanten der$k^\textrm{th}$Eigenzustand erzeugt durch Anwendung von$(a^+_k)^{i_k}$auf dem Vakuum.

Der obige Zustand wird nicht normalisiert, bis er mit dem Faktor der Form multipliziert wird$\prod_{k=0}^N \frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Wenn Ihre Erregungen bosonisch sind, sind Sie fertig, weil der Kommutator der Leiteroperatoren$[a^+_i,a_j] = \delta_{ij}$verschwindet für$i\ne j$. Wenn die Statistik Ihrer Teilchen jedoch nicht-bosonisch (fermionisch oder anyonisch) ist, dann ist die Reihenfolge wichtig , in der Sie mit den Leiteroperatoren auf das Vakuum einwirken.

Natürlich, um einen Fockraum zu konstruieren$\mathbf{F}$Sie müssen keinen Hamiltonoperator angeben. Es werden nur die Leiteroperatoren mit ihren Kommutierungs-/Antikommutierungsbeziehungen benötigt. Bei üblichen Flachraumproblemen entsprechen die Leiteroperatoren unseren üblichen Fouriermoden$a^+_k \Rightarrow \exp ^{i k x}$. Für gekrümmte Raumzeiten kann dieses Verfahren verallgemeinert werden, indem unsere Leiteroperatoren so definiert werden, dass sie geeigneten positiven (negativen) Frequenzlösungen eines Laplace-Operators in diesem Raum entsprechen. Für Einzelheiten siehe Wald, QFT in Curved Spacetimes . Gegeben sei nun ein Hamiltonoperator der Form:

$$H = \sum_{k=1}^{N} T(x_k) + \frac{1}{2} \sum_{k \ne l = 1}^N V(x_k,x_l)$$

mit einem kinetischen Term$T$für ein Teilchen bei$x_k$und ein paarweiser potentieller Term$V(x_k,x_l)$, kann man den Quanten-Hamiltonoperator in Form von Matrixelementen dieser Operatoren aufschreiben:

$$H = \sum_{ij} a^+_i \langle i \vert T \vert j \rangle a_i + \frac{1}{2}a^+_i a^+_j \langle ij \vert V \vert kl \rangle a_l a_k$$

wo$|i\rangle$ist der Zustand mit einem einzelnen angeregten Quant entsprechend der Wirkung von$a^+_i$auf dem Vakuum. (Details, Schritte siehe Fetter & Walecka, Kap. 1).

Ich hoffe, dies hilft, einige Ihrer Zweifel auszuräumen. Da Sie aus der Mathematik kommen, gibt es zwangsläufig semantische Unterschiede zwischen meiner und Ihrer Sprache. Wenn Sie also irgendwelche Fragen haben, zögern Sie bitte nicht, sie zu stellen.

Lassen Sie uns zuerst den harmonischen Oszillator besprechen. Es ist tatsächlich ein sehr spezielles System (das einzige seiner Art in der gesamten QM), das selbst in gewissem Sinne bereits zweitquantisiert ist (dieser Punkt wird später erläutert).

Zuerst ein allgemeines Gespräch über HO (überspringen Sie diesen Absatz, wenn Sie sie bereits in- und auswendig kennen). Es ist möglich, seinen Hamiltonian auszudrücken als$H = \hbar \omega(N + 1/2)$wo$N = a^{\dagger} a$und$a$ist eine Linearkombination aus Impuls- und Ortsoperator). Unter Verwendung der Kommutierungsbeziehungen$[a, a^{\dagger}] = 1$man erhält Grundlage$\{ \left| n \right >$|$n \in {\mathbb N} \}$mit$N \left | n \right > = n$. So erhalten wir eine bequeme Interpretation, dass diese Basis tatsächlich die Anzahl der Teilchen im System ist, von denen jedes Energie trägt$\hbar \omega$und dass das Vakuum$\left | 0 \right >$hat Energie$\hbar \omega \over 2$.

Nun, die obige Konstruktion war eigentlich die gleiche wie bei Ihnen$X = \{0\}$. Die Konstruktion von Fock (auch zweite Quantisierung genannt) kann als Einführung von Teilchen verstanden werden,$S^i$korrespondierend zu$i$Teilchen (also ist HO eine zweite Quantisierung eines Teilchens mit einem Freiheitsgrad). In jedem Fall erhalten wir positionsabhängige Operatoren$a(x), a^{\dagger}(x), N(x)$und$H(x)$die für jeden sind$x \in X$isomorph zu den zuvor besprochenen HO-Operatoren und erhalten auch eine Base$\left | n(x) \right >$(obwohl ich eigentlich nicht sicher bin, ob dies eine Basis im eigentlichen Sinne des Wortes ist; diese Angelegenheiten werden in der Feldtheorie von Physikern nicht viel diskutiert). Der totale Hamiltonian$H$ist dann ein Integral$H = \int H(x) dx$. Der generische Zustand in diesem System sieht aus wie ein Bündel von überall verstreuten Teilchen, und dies ist tatsächlich die Teilchenbeschreibung eines freien bosonischen Feldes.

Nehmen Sie an, wie Sie es tun$K$ist der Zustandsraum eines einzelnen Bosons. Dann ist es der Zustandsraum eines kombinierten Systems aus zwei Bosonen nicht$K\otimes K$wie es wäre, wenn die beiden Bosonen unterscheidbar wären, ist es der symmetrische Unterraum, den Sie bezeichnen$S^2$. Ihre Summe über alles$i$, die Sie bezeichnen$S$, ist dann ein Hilbert-Raum (Zustandsraum) eines neuen Systems, dessen Zustände die Zustände eines Ein-Boson-Systems, eines Zwei-Boson-Systems, eines Drei-Boson-Systems usw. enthalten, außer einer nicht unendlichen Anzahl von Bosonen. (Das ist nicht im Raum enthalten$S$). Und Ihren Raum$S$enthält Überlagerungen, zum Beispiel if$v_1$ist ein Element von$S$(ein Zustand eines Bosons) und wenn$v_3 \in S^3$(ein Zustand eines Drei-Bosonen-Systems) dann$0.707 v_1 - -.707 v_3$ist ein Staat, der fünfzig Prozent hat. Wahrscheinlichkeit, ein Boson zu sein, wenn die Anzahl der Teilchen gemessen wird, und fünfzig Prozent. Wahrscheinlichkeit, drei Bosonen zu finden. Das ist die physikalische Bedeutung von Fock-Raum. Es ist der Zustandsraum, auf dem die Operatoren eines Quantenfeldes wirken.

Wie bereits von Eric Zaslow bemerkt, wenn$H$ist der Hamiltonoperator von ho$K$, dann per definitionem$H\otimes I + I \otimes H$ist der Hamiltonoperator eingeschaltet$S^2$, usw. auf jedem$S^i$. Dann summiert man sie alle, um einen Hamilton-Operator für die direkte Summe zu erhalten$S$.

Sofern dieser Hamiltonoperator nicht gestört wird, ist die Anzahl der Teilchen offensichtlich konstant, da er jeden Unterraum erhält$S^i$von$S$. Es wird also keine Erzeugung oder Vernichtung von Teilchenpaaren geben. Wenn dieses Feld mit einem fremden Teilchen in Wechselwirkung tritt, wird der Hamiltonoperator natürlich gestört.

Es ist wie folgt mit der zweiten Quantisierung verbunden: Wenn Sie ein klassisches ho haben und es quantisieren, erhalten Sie$K$. Wenn Sie jetzt 2. quantisieren$K$, du erhältst$S$die als Quantenfeld betrachtet werden kann. Sir James Jeans zeigte vor der Quantenrevolution, dass das klassische elektromagnetische Feld aus der klassischen Mechanik ho als Grenze von immer mehr klassischen ho erhalten werden konnte, die nicht miteinander wechselwirken, und dieses Verfahren der zweiten Quantisierung ein Quantenanalog ist. Es ist nicht dasselbe Verfahren, als ob Sie mit einem klassischen Feld beginnen und es dann quantisieren. Aber es ist bemerkenswert, dass man so oder so die gleiche Antwort bekommen kann, wie JEans im klassischen Fall bemerkt hat. Das heißt, Sie begannen mit einem Quanten-Ein-Teilchen-System und gingen in den Fock-Raum über und erhielten die diesem System entsprechende Quantenfeldtheorie. Aber wir hätten mit einem klassischen Feld beginnen und es quantisieren und so das Quantenfeld erhalten können.