Neunecks Antwort ist die prägnanteste Beschreibung, wie Sie normalisierbare Zustände als Überlagerungen von nicht normalisierbaren Zuständen erhalten, aber das Folgende ist eher ein "Warum" diese Zustände auftreten. Hoffentlich sollten Sie sehen, dass diese Diskussion unabhängig von der Anzahl der Dimensionen ist.

Praktisch gesehen liegt der Grund, warum es immer solche Zustände gibt, darin, dass Observable die kanonische Vertauschungsbeziehung erfüllen$[X,P]=i\,\hbar\,I$haben Eigenvektoren, die nicht normierbar sind.

Eigentlich gibt es keinen Grund, warum wir Eigenvektoren haben müssen, also sind auf einer tieferen Ebene die Hauptgründe, warum es immer nicht normalisierte Zustände gibt, (1) Bequemlichkeit – die Notwendigkeit einer praktischen mathematischen Beschreibung und (2) der mathematische Einfallsreichtum von die Leute, die uns diese handliche und handliche mathematische Beschreibung gegeben haben - vor allem das Genie von (in grober historischer Reihenfolge), Paul Dirac, Laurent Schwartz, Alexander Grothendieck und Israel Gel'Fand. Diese Diskussion hält die intuitiven Ideen von Eigenvektoren und anderen praktischen Werkzeugen auf einer einheitlichen und rigorosen Basis.

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Ideen erden

Die Grundeinstellung für die Quantenmechanik ist der Hilbert-Raum, nämlich ein vollständiger (in dem Sinne, dass jede Cauchy-Folge zu einem Mitglied des Raums konvergiert) Vektorraum, der mit einem inneren Produkt ausgestattet ist (Banach-Räume sind ein schwächeres und allgemeineres Konzept - vollständiger Vektor zu sein). Räume, die einfach mit einer Norm ausgestattet sind. Die Norm in einem Hilbert-Raum ergibt sich aus dem Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst).

Intuitiv ist es also ein komplexer Vektorraum$\mathbb{C}^N$mit "keine Löcher drin", damit wir über Grenzen sprechen und mathematische Dinge tun können, ohne uns Gedanken darüber zu machen, ob Grenzen existieren, und wobei wir über lineare Superposition sprechen können und wobei wir Vektoren durch das innere Produkt eindeutig in Komponenten "auflösen" können. Es ist also so ziemlich der Zustandsraum jedes physikalischen Systems, abgesehen davon, dass es komplex ist, was etwas ungewöhnlich ist.

Nun betrachten wir die Idee eines linearen Funktionals auf einem Hilbert-Raum$\mathcal{H}$. Dies ist einfach eine lineare Funktion$L:\mathcal{H}\to\mathbb{C}$Abbildung des Hilbert-Raums$\mathcal{H}$zum zugrunde liegenden Feld (in diesem Fall$\mathbb{C}$. Das innere Produkt für einen festen "BH"$\ell\in\mathcal{H}$, nämlich die Funktion$x\mapsto\left<\ell,x\right>$ist eindeutig ein Sonderfall dieses linearen Funktionsbegriffs. Im Hilbert-Raum kann jedoch tatsächlich jedes kontinuierliche lineare Funktional durch ein inneres Produkt "fixierter BH" dargestellt werden, und da jedes innere Produkt eines fixierten BHs eindeutig ein kontinuierliches lineares Funktional induziert, die Ideen eines kontinuierlichen linearen funktionalen und inneren Produkts mit einem fixierten BH sind genau derselbe Begriff : Diese Äquivalenz gilt NICHT in irgendeinem alten Vektorraum. Diese Schlüsseläquivalenzeigenschaft ist speziell für Hilbert-Räume und Gegenstand des Riesz-Darstellungssatzes (siehe Wiki-Seite dieses Namens) . Also das stetige (topologische) Dual$\mathcal{H}^*$von$\mathcal{H}$, ein prägnanter Name für den Vektorraum stetiger linearer Funktionen auf$\mathcal{H}$, isomorph zum ursprünglichen Hilbert - Raum .

Es kann gezeigt werden, dass es sich um eine alternative und insgesamt äquivalente Definition des "Hilbert-Raums" handelt, wie die obige (dh ein vollständiger innerer Produktraum):

Ein innerer Produktraum, der isomorph zu seinem dualen Raum stetiger linearer Funktionale ist .

All dies ist sehr geschickt und attraktiv, um Dinge wie die Quantenmechanik zu beschreiben. Es ist auch sehr einfach in endlichdimensionalen Quantensystemen, wie z. B. einem Elektron, das darauf beschränkt ist, eine Überlagerung von Spin-Up- und Spin-Down-Zuständen zu sein. In endlichen Dimensionen gibt es überhaupt keinen Unterschied zwischen den Begriffen der stetigen linearen Funktion und dem allgemeineren Begriff der einfachen linearen Funktion (*dh ohne Berücksichtigung der Stetigkeit).

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Rigging des Hilbert-Raums: Nicht normalisierbare Zustände

In unendlichen Dimensionen - wie beim Quantenzustandsraum des harmonischen Oszillators oder des an ein Potential gebundenen Elektrons - treffen wir auf einen Fehler:

Nicht alle linearen Funktionale sind stetig.

OOOPS: Genauso wie wir das iPhone 5 unseres Nachbarn begehren, wenn wir „nur“ Modell 4 haben, begehren wir auch ein stärkeres Konzept als den Hilbert-Raum, bei dem ein Software-Upgrade alle „nützlichen“ linearen Funktionen kontinuierlich machen würde!

Weniger leichtfertig, hier werden wir praktisch. In der Quantenmechanik müssen wir die Heisenbergsche Unschärferelation implementieren, also brauchen wir hermitesche Observablen $\hat{X}$und$\hat{P}$Erfüllung der kanonischen Kommutierungsbeziehung (CCR)$[\hat{X},\,\hat{P}]=i\,\hbar\,I$(siehe meine Antwort hier und hier ). Es ist nicht allzu schwer zu zeigen, dass ein Quantenraum, der das HUP wirklich implementiert, nicht endlichdimensional sein kann – wenn er es wäre$\hat{X}$und$\hat{P}$hätte quadratische Matrixdarstellungen und die Lie-Klammer$[\hat{X}, \hat{P}]$zwischen jedem Paar endlicher quadratischer Matrizen hat eine Nullspur, während die rechte Seite des CCR sicherlich keine Nullspur hat. Wir betrachten sie also als Operatoren auf dem Hilbert-Raum$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$, der ein Hilbert-Raum mit Dimensionalität ist$\aleph_0$, dh sie hat abzählbar unendliche Basisvektoren, zB die Eigenfunktionen der$N$-dimensionaler harmonischer Oszillator. Vektoren in diesem Hilbert-Raum sind "alltägliche Wellenfunktionen"$\psi:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$nach Schrödinger mit der entscheidenden Normierbarkeitseigenschaft :

$$\int\limits_{\mathbb{R}^N} |\psi(\vec{x})|^2\,{\rm d}^N x < \infty$$

Nun möchten wir der Einfachheit halber in Koordinaten arbeiten, bei denen eines von$\hat{X}$und$\hat{P}$ist der einfache Multiplikationsoperator$X \psi(x) = x\,\psi(x)$. In meiner Antwort hier zeige ich, dass dies bedeutet, dass es Koordinaten gibt, wo$X \psi(x) = x\,\psi(x)$und, notwendigerweise$\hat{P} \psi(x) = -i\,\hbar \,{\rm d}_x \psi(x)$.

Allerdings ist keiner dieser Operatoren auf unserem gesamten Hilbert-Raum definiert $\mathcal{H} = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$: es gibt Vektoren (Funktionen)$f$in$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$( zB Funktionen mit Sprungstellen) die keine definiert haben$P\,f\in\mathcal{H}$, da die Ableitung an der Diskontinuität undefiniert ist. Ebenso einige normalisierbare Funktionen$g$habe keine definiert$X\,g\in\mathcal{H}$; Multiplikation mit$\vec{x}$macht sie nicht normalisierbar (siehe zum Beispiel die Funktion$f(x) = (1+x^2)^{-1}$).

Außerdem hat keine dieser Funktionen Eigenvektoren in$\mathcal{H}$: wenn$X\,f(x) = \lambda f(x) = x f(x)\,\forall x\in\mathbb{R}$dann$f(x) = 0$zum$x\neq\lambda$und die Eigenfunktion$e^{i\,k\,x}$von$P$ist nicht normierbar.

Aber wir wollen die Idee der Eigenzustände retten und trotzdem in der Lage sein, unsere Zustände in Orts- oder Impulskoordinaten zu schreiben.

Hier kommt der Begriff des Rigged Hilbert Space ins Spiel – der geniale Prozess, bei dem wir eine dichte Teilmenge kitten$S\subset H$des ursprünglichen Hilbertraums$H$("Rig it") mit einer stärkeren Topologie, so dass Dinge wie das Dirac-Delta in den topologischen dualen Raum aufgenommen werden$S^*$wo$S\subset H\subset S^*$.

Für QM nehmen wir die dichte Teilmenge$S$Dazu gehören noch die "glatten" Funktionen$\mathcal{H}$wenn von einem Mitglied der Algebra von Operatoren generiert von abgebildet$X$und$P$. Das ist,$S$ist unter dieser Algebra invariant und umfasst genau den Schwartz-Raum von Funktionen, die mit jedem Polynom multipliziert und beliebig oft differenziert werden können und noch dazugehören$\mathcal{H}$. Beliebige Funktion ein$\mathcal{H}$kann (in Bezug auf die Hilbertraumnorm) durch eine Funktion in beliebig gut angenähert werden$S$.

Gleichzeitig kitten wir die dichte Teilmenge$S$heraus mit einer stärkeren Topologie als die ursprüngliche Hilbert-Raum-Topologie. Warum tun wir das? Eines der grundlegenden Probleme mit$\mathcal{H}$ist das das Dirac-Delta$\delta:\mathbf{L}^2(\mathbb{R})\to \mathbb{C};\;\delta\;f(x) = f(0)$, die als Eigenvektor von aufgefasst werden kann$X$, ist kein stetiges lineares Funktional on$\mathcal{H}$obwohl es natürlich eine lineare Funktion ist. Um dies zu sehen, betrachten Sie das Bild von$f(x) + \exp(-x^2/(2 \sigma^2)$unter dem Delta-Funktional: wir können a wählen$\sigma$um diese Funktion beliebig nahe zu bringen$f(x)$gemessen an der$\mathbf{L}^2$normal, aber mit Bildern$f(0)$und$f(0)+1$, bzw. unter dem Dirac$\delta$. Also kitten wir die dichte Teilmenge$S$eine Topologie, die stark genug ist, um alle nützlichen linearen Funktionale "aufzuspüren" und sie stetig zu machen . Wir haben jetzt ein topologisches Dual (Raum aller linearen Funktionale stetig in Bezug auf die stärkere Topologie)$S^*$von$S$so dass$S\subset\mathcal{H} = \mathcal{H}^*\subset S^*$.

$S^∗$ist der Raum der temperierten Verteilungen, wie in meiner Antwort hier besprochen .$S^∗$umfasst das Dirac-Delta,$e^{i\,k\,x}$und wird durch die Fourier-Transformation bijektiv, isometrisch auf sich selbst abgebildet. Intuitiv sind Funktionen und ihre Fourier-Transformationen genau die gleichen Informationen für die temperierten Verteilungen. Dies hängt damit zusammen, dass Orts- und Impulskoordinate durch die Fourier-Transformation und ihre Umkehrung ineinander abgebildet werden.

Da haben wir es also. Wir haben jetzt einen Platz für BHs$S^*$das ist deutlich größer als der Raum von Kets$\mathcal{H}$und es schließt notwendigerweise durch die Konstruktion des manipulierten Hilbert-Raums nicht normalisierbare Büstenhalter ein$S^*\sim\mathcal{H}$einfach, damit wir die Eigenzustände aller Observablen, die wir brauchen, rigoros diskutieren können.

Gute Referenzen für diesen Begriff sind:

1. Diese Antwort auf die Physics Stack Exchange-Frage "Manipulierter Hilbert-Raum und QM" und auch
2. Die Diskussionen unter der Math Overflow-Frage "Gute Referenzen für manipulierte Hilbert-Räume?"

Bei letzterem sind die Vermutungen von Todd Trimble richtig, dass das übliche Gel'Fand-Triple ist$S\subset H = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)\subset S^*$mit$S$,$S^∗$der Schwartz-Raum und temperierte Verteilungen sind, wie in meiner Antwort hier besprochen . Der Wikipedia-Artikel über den manipulierten Hilbert-Raum ist hier ein wenig hellhörig: Es gibt viele Details über nukleare Räume, die beschönigt werden, also würde ich vorschlagen, dass Sie beim ersten Lesen ein konkretes Beispiel nehmen sollten$S$= Schwartzraum und$S^∗$= Temperierte Verteilungen und behalten Sie ausschließlich dieses relativ einfache (und für QM relevante) Beispiel im Hinterkopf - für QM brauchen Sie nichts anderes. Der Schwarz-Raum und der Raum temperierter Verteilungen sind automatisch nuklear, sodass Sie sich beim ersten Lesen nicht allzu viele Gedanken über diese Idee machen müssen.

Die gestreuten Zustände sind tatsächlich nicht normalisierbar. Dies liegt daran, dass eine ebene Welle ein unphysikalischer Zustand ist (was Sie beispielsweise sehen können, indem Sie versuchen, die Heisenberg-Unschärfe zu berechnen, die lautet$\Delta x \cdot \Delta p = \infty \cdot 0 = ??$).

Um einen physikalischen Zustand herzustellen, müssen Randbedingungen vorgegeben werden, also eine physikalische Wellenfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt$\Psi(t = 0)$. Dies kann immer als Überlagerung ebener Wellen geschrieben werden

$$\Psi(t=0) = \int \mathrm dE \; \tilde g(E) \psi(E)$$ wo $\tilde g$ist die "Hülle" Ihrer Funktion und die $\psi(E)$sind die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger- Gleichung $$\hat H \psi(E) = E \cdot \psi(E)$$ Wenn dies erfüllt ist, Ihre volle Wellenfunktion $\Psi(t)$wird die zeitabhängige Schrödinger- Gleichung erfüllen.