Quantisierung des Klein-Gordon-Feldes (was ist dort Erzeugungsoperator und was Vernichtung)

Kürzlich haben wir in meiner Klasse die Quantisierung von Feldern studiert, und ich grübele über ein Argument/eine Motivation zur Konstruktion der Quantisierung des Klein-Gordon-Feldes nach. Erinnern Sie sich, das "klassische" Klein-Gordon-Feld ist eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung und sieht aus wie die Klein-Gordon-Gleichung

$$\phi(\vec{x},t) = \int c \cdot d^3p\left[a(\vec{p})\mathrm{e}^{+i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt)} + b(\vec{p})\mathrm{e}^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt))}\right]$$

Wo$c$eine geeignete Normalisierungskonstante und ist$a(\vec{p})$Und$b(\vec{p})$Koeffizienten bezüglich der Entwicklung bezüglich der Eigenvektorbasis des Hamiltonoperators sind. Wenn wir die quantisieren$a(\vec{p})$Und$b(\vec{p})$Betreiber werden$\hat{a}(\vec{p})$Und$\hat{b}(\vec{p})$In

$$\hat{\phi}(\vec{x},t) = \int c \cdot d^3p\left[\hat{a}(\vec{p})\mathrm{e}^{+i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt)} + \hat{b}^(\vec{p})\mathrm{e}^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt))}\right]$$

und in der Vorlesung, die wir anriefen$\hat{a}(\vec{p})$der "Erstellungs"-Operator und$\hat{b}(\vec{p})$der "Vernichtungs"-Operator. Aber warum nicht umgekehrt? Ich verstehe nicht warum$\hat{a}(\vec{p})$ist nun die Schöpfung und$\hat{b}(\vec{p})$Vernichtung. Warum also entspricht die Schöpfung der Potenz mit negativem Vorzeichen und der Vernichtung mit positivem Vorzeichen und nicht umgekehrt?

Als "Grund" oder sagen wir Motivation hat mein Dozent das so erklärt:

Betrachten wir einen Prozess mit einem Anfangszustand, der durch eine Wellenfunktion beschrieben wird$\phi_i e^{-iE_it}$und Endzustand durch Wellenfunktion beschrieben$\phi_f e^{-iE_ft}$und wir wollen die Wahrscheinlichkeitsamplitude dann berechnen, wenn wir über integrieren$\int_{-\infty}^{+\infty} dt \int d^3 \vec{x}$der Integrand ist gegeben durch

$$(\phi_f e^{-iE_if})^* \hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it} = (\phi_f)^* e^{+iE_if}) \hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it}$$

Das Exponential des Endzustands ist also komplex konjugiert. Dies "enthält" moralisch den Grund, warum der Erzeugungsoperator Exponent mit negativem Vorzeichen und Vernichtung mit positivem Vorzeichen entspricht. Natürlich, wie der Dozent hinzufügte, ist das kein formaler Beweis, sondern eine Motivation, warum diese Wahl "vernünftig" sein könnte.

Leider war ich nicht schlau genug zu verstehen, warum diese elementare Beobachtung zum Integranden, die ich oben skizziert habe, den Hinweis liefert, warum der Erzeugungsoperator Exponent mit negativem Vorzeichen und Vernichtung mit positivem Vorzeichen entspricht und nicht umgekehrt. Ich denke, dass die wesentliche Zutat zur Lösung des Problems darin besteht, zu verstehen, ob$\phi_i e^{-iE_it}$ist willkürlicher Anfangszustand was dann ist

$$\hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it}~?$$

Angenommen, der Anfangszustand ist$|0\rangle$. Was ist$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle$? Meine Hoffnung ist$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$da die bekannte Beziehung zwischen Impuls-Eigenvektoren und Ortsoperatoren gegeben ist$\langle p | |\vec{x} \rangle = e^{-i px}$. Also wenn$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$dann können wir das in der Tat schlussfolgern$\hat{a}(\vec{p})$ist der Erstellungsoperator mit$\hat{a}(\vec{p}) |0\rangle= |p \rangle$. Aber dafür müssen wir das überprüfen$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$stimmt aber das ist mir nicht klar.

Hat jemand eine Idee, was mein Dozent möglicherweise mit dieser Skizze im Sinn hatte und wie diese Beobachtung einen Hinweis / eine Motivation liefert, warum bei der Quantisierung des Klein-Gordon-Feldes die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren so gewählt wurden und nicht umgekehrt? Ich habe keine Ahnung, wie diese Skizze die Wahl rechtfertigt.

In physical.stackexchange habe ich ein paar Fragen gefunden, die sich mit ähnlichen Problemen wie hier , hier oder hier befassen . Die Motivation meiner Frage besteht in erster Linie darin, zu verstehen, warum die Skizze meines Dozenten, die ich oben zu reproduzieren versucht habe, einen "Grund" oder zumindest einen "Hinweis" gibt, der mein Problem beantwortet.