Klein Gordon Feldquantisierung: Warum ist dies der richtige Weg, um das Feld auszudrücken?

Ich lese ein Buch in QFT und das erste, was angegangen wird, ist die Quantisierung des Klein-Gordon-Feldes. Das klassische Klein-Gordon-Feld erfüllt die partielle Differentialgleichung

$$(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \Longrightarrow (\partial_t^2-\nabla^2+m^2)\phi=0.$$

Mit der Fourier-Transformation erhalten wir

$$(\partial_t^2+\omega_p^2)\hat{\phi}=0,$$

wo jetzt$\omega_p^2 = p^2+m^2$. Mit anderen Worten$\hat{\phi}(p,t)$erfüllt die einfache harmonische Oszillatorbewegungsgleichung für jedes Fest$p$. In diesem Fall haben wir

$$\phi(x,t)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}\hat{\phi}(p,t)e^{ix\cdot p}.$$

Das ist in Ordnung und alles klassisch. Nun wollen wir das Feld quantisieren. Wie das Buch erklärt, bedeutet die Quantisierung des Feldes Förderung$\phi(\mathbf{x},t)$an einen Betreiber, so dass

$$[\phi(\mathbf{x}),\phi(\mathbf{y})]=[\pi(\mathbf{x}),\pi(\mathbf{y})]=0,$$

$$[\phi(\mathbf{x}),\pi(\mathbf{y})]=(2\pi)^3\delta(\mathbf{y}-\mathbf{x}).$$

genauso wie wir es mit der Position tun$X$und Schwung$P$in der Quantenmechanik.

Dazu verwendet der Autor nun die Leiteroperatoren des Quantenharmonischen Oszillators. In diesem Fall wenn$X$Und$P$sind Position und Impuls, die Leiterfahrer erfüllt

$$X=\dfrac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^\dagger), \quad P=-i\sqrt{\dfrac{\omega}{2}}(a-a^\dagger).$$

Der Autor in Analogie dazu sagt dann das

$$\phi(x)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}\dfrac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{ix\cdot p}+a_p^\dagger e^{-ix\cdot p})$$ $$\pi(x)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\dfrac{\omega_p}{2}}(a_pe^{ix\cdot p}-a_p^\dagger e^{-ix\cdot p})$$

Das ist mir jetzt überhaupt nicht klar. Meine Hauptanliegen sind:

1. Erstens, was zu dieser Erweiterung des quantisierten Feldes führt$\phi$? Ich meine, ich vermute, dass der Autor darüber nachgedacht hat$\hat{\phi}(p)$verhält sich wie die Koordinate eines harmonischen Oszillators, sodass wir schreiben können$\hat{\phi}(p)$in Bezug auf Leiteroperatoren$a_p$Und$a_p\dagger$. Aber wenn das erledigt ist, würden wir es bekommen

$$\phi(x)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}\dfrac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_p+a_p^\dagger)e^{ix\cdot p}$$

Das wäre meiner Meinung nach die Analogie, wo wir ansetzen$\hat{\phi}(p)$als die Position des harmonischen Oszillators. Warum bekommen wir$(a_p e^{ix\cdot p}+a_p^\dagger e^{-ix\cdot p})$stattdessen?

2. Wenn diese Analogie getragen wird, warum$\hat{\pi}(p)$wäre der Impuls des harmonischen Oszillators? Ich sehe dafür keinen Grund direkt durch die Differentialgleichung.