Lösung der Klein-Gordon-Gleichung

Die meisten Lehrbücher lösen die Klein-Gordon-Gleichung mit dem Ansatz

φ ( X , T ) = ∫ D 3 k F ( k ) ( A ( k ) e ich k X + B ( k ) e − ich k X )

damit sie dann wählen können F so dass das Integrationsmaß Lorentz-invariant und kanonisch quantisiert ist A Und B .

Aber warum ziehen wir nicht stattdessen die natürlicher aussehende Lösung in Betracht

φ ( X ) = ∫ D 4 k ( A ( k ) e ich k X + B ( k ) e − ich k X ) ?

Ist dies nicht eine größere Menge von Lösungen als die oben ausgedrückten? Ich denke, diese Form macht es einfacher, den Hamilton-Operator aufzuschreiben (der nicht Lorentz-invariant ist, wie der Integrand ohne Maß der oberen Gleichung), aber es scheint wirklich seltsam, die Lösung einer Lorentz-invarianten Bewegungsgleichung aufzuschreiben als eine Summe über nicht-Lorentz-invariante Lösungen und rette sie dann mit dem Integrationsmaß.

physical.stackexchange.com/a/164186/113085 liefert eine teilweise Antwort; "Es ist kein größerer Satz von Lösungen; sie führen einfach das aus k 0 integral", erklärt aber nicht vollständig, warum man das tun möchte.
Wo kommt die Masse des Feldes ins Spiel?
Im gleichen Atemzug seid ihr willkürlich k 0 s völlig unabhängig von der k → S?
@CosmasZachos Warum erzwingen wir die Massenschalenbedingung in diesem Schritt und nicht in späteren Schritten? Wenn Sie die Standardberechnungen auf offensichtlich lorentzinvariante Weise durchführen, finde ich, dass Sie eine Menge davon bekommen k 2 Sie können gleich setzen − M 2 in Ihrer Freizeit. Im Allgemeinen wenden wir die Strategie an, die manifeste Lorentz-Invarianz so weit wie möglich aufrechtzuerhalten , daher sehe ich nicht ein, warum wir hier versuchen, sie sofort zu beseitigen, indem wir die Massenschalenbedingung auferlegen.
Sie können es in jedem beliebigen Schritt und in jeder beliebigen Form auferlegen. Es ist nur so, dass eine der 4 Variablen redundant ist. Welche schlagen Sie vor, um sie zu eliminieren und die manifeste Rotationsinvarianz zu bewahren?

Antworten (2)

Warum erzwingen wir die Mass-Shell-Bedingung in diesem Schritt und nicht in späteren Schritten? Wenn Sie die Standardberechnungen auf offensichtlich lorentzinvariante Weise durchführen, finde ich, dass Sie eine Menge davon bekommen k 2 Sie können gleich setzen − M 2 in Ihrer Freizeit.

Ich bin mir nicht sicher was du meinst. Beachten Sie, dass

( ∂ T 2 − ∇ 2 + M 2 ) φ ( X ) = 0 ⟹ ∫ D 4 k ( − k 0 2 + | k | 2 + M 2 ) ϕ ( k ) e ich k X = 0
woraus folgt ϕ ( k ) ∝ δ ( − k 0 2 + | k | 2 + M 2 ) . Die On-Shell-Bedingung wird durch die Anforderung auferlegt, dass φ ( X ) die KG-Gleichung erfüllen.

Aber warum ziehen wir nicht stattdessen die natürlich wirkende Lösung [...]

Es steht Ihnen frei, das zu tun. Wenn Sie jedoch dem kanonischen Quantisierungsverfahren folgen (im Gegensatz zum Pfadintegralverfahren), quantisieren Sie nur Feldoperatoren, die bereits die KG-Gleichung erfüllen, was bedeutet, dass es eine Delta-Funktion gibt, die Sie auf der Schale hält, die sich versteckt in diesem 4D-Integral. Durchführung der k 0 Integration macht es deutlich.

Wenn Sie im Schrödinger-Bild arbeiten, benötigen Sie außerdem zeitunabhängige Feldoperatoren, die die Form annehmen ϕ ( X ) = ∫ D 3 k [ … ] , die kein offensichtlich Lorentz-invariantes Maß hat. Wie du sagst, kannst du einiges ausklammern F ( k ) um die Invarianz explizit zu machen, aber es ist nicht klar, was genau F ( k ) sollte sein. Ausgehend von dem offensichtlich invarianten Integral und der Durchführung der k 0 Teil führt Sie zum richtigen Ausdruck für F ( k ) , obwohl Sie aus anderen Überlegungen dorthin gelangen könnten.

Danke schön; Mein Fehler ist, dass ich vergessen habe, die Delta-Funktion explizit aufzuschreiben und am Ende jeder Berechnung nur die Massenschalenbedingung aufzuerlegen. Das funktioniert, und ich frage mich, warum es nicht in Lehrbüchern gemacht wird, da in bestimmten Beispielen wie der Berechnung von geodätischen Witten-Diagrammen die Integrale nur dann leicht berechnet werden können, wenn Sie das Delta bis zum Ende verwenden.

Ihre vorgeschlagene Lösung löst die Klein-Gordon-Gleichung nicht. Nur Fourier-Modi, in denen k ist on-shell es zu lösen.

Danke schön; Ich habe die Delta-Funktion vergessen und am Ende jeder Berechnung nur die Masse-Schale-Bedingung auferlegt. Das funktioniert und ich frage mich, warum Lehrbücher es gerne so schnell wie möglich auferlegen, anstatt es für die Fahrt mitzunehmen, da es bei Berechnungen mit mehreren Integralen oft einfacher ist, die Delta-Funktion zuletzt zu verwenden (z. B. geodätische Witten-Diagramme).
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