Probleme der Klein-Gordon-Gleichung

Betrachten Sie die Klein-Gordon-Gleichung

( ◻ + M 2 ) φ = 0.

  1. Das behaupten die Leute meistens φ ∗ φ kann nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, weil ∫ D 3 X → φ ( T , X → ) ∗ φ ( T , X → ) ist nicht zeitunabhängig. Ich verstehe, dass es tatsächlich keinen Strom gibt J μ Erfüllung der Kontinuitätsgleichung ∂ μ J μ = 0 wofür J 0 = φ ∗ φ . Das würde die Zeitinvarianz unseres Integrals garantieren. Das Fehlen eines solchen Stroms garantiert jedoch nicht, dass das Integral nicht zeitunabhängig ist. Kennt jemand eine bessere Erklärung für die Zeitabhängigkeit. Ein gutes Beispiel würde das sicherlich verdeutlichen.
    1. Die Leute behaupten, dass es eine Strömung gibt, nämlich J μ := φ ∗ ∂ μ φ − φ ∂ μ φ ∗ was die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Jedoch, J 0 ist nicht positiv definit (auch hier wäre ein Beispiel schön). Woher wissen wir, dass es keine anderen Kombinationen von gibt φ was zu Erhaltungsströmen führen kann, die eine positive bestimmte nullte Komponente haben?
    2. Es wird normalerweise gesagt, dass die obigen Probleme darauf zurückzuführen sind, dass die Klein-Gordon-Gleichung zeitlich zweiter Ordnung ist. Warum?

Danke an alle!

Ich habe einmal eine Frage gestellt, die in direktem Zusammenhang mit einem der von Ihnen angesprochenen Punkte steht: physical.stackexchange.com/q/340023

Antworten (1)

Das Hauptproblem bei der Klein-Gordon-Gleichung besteht darin, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte nicht unbegrenzt positiv definiert werden kann.

Die allgemeine Lösung kann in Modenerweiterungen geschrieben werden, die die Mass-Shell-Bedingung erfüllen k μ k μ = M 2 : man kann zeigen, dass die J 0 Die Komponente kann nicht zwangsläufig immer positiv sein, da Sie zwei Anfangsbedingungen berücksichtigen müssen, nämlich die Wahl der Anfangsposition und -geschwindigkeit, woraus folgt, dass die Gleichung zweiter Ordnung ist. Wie auch immer Sie Ihren Anfangszustand vorbereiten wollen, die Evolution wird ihn immer in einen anderen Zustand bringen, in dem die Dichte negativ sein kann.

Das Fehlen eines solchen Stroms garantiert jedoch nicht, dass das Integral nicht zeitunabhängig ist

Der Punkt ist wirklich nur, dass der Strom auf der Massehülle zwischen positiven und negativen Werten oszilliert k μ k μ = M 2 .

Woher wissen wir, dass es keine anderen Kombinationen gibt?

Denn es gibt sie nicht. Der Strom ist nichts anderes als das Umschreiben der ursprünglichen Gleichung, so dass die Ableitung vorne steht, nämlich

∂ μ ( ⋅ ) = 0
wobei die Menge in Klammern verschwinden muss, wenn die ursprüngliche Gleichung gilt. Sie können versuchen, die Ableitungen nach links und rechts zu manipulieren, aber viel mehr werden Sie nicht bekommen.

Es wird normalerweise gesagt, dass die obigen Probleme darauf zurückzuführen sind, dass die Klein-Gordon-Gleichung zeitlich zweiter Ordnung ist. Warum

Wie gesagt, hinterlässt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zwei willkürliche Anfangsbedingungen: Die Folge dieser Willkür ist, dass man sie nicht zwingen kann, immer so zu kombinieren, dass die Dichte überall positiv ist.

In Bezug auf Ihre erste Antwort gibt es keinen Strom für den "Wahrscheinlichkeitsdichteversuch". φ ∗ φ . Das ist klar, da sich dies als Skalar transformiert und nicht wie die nullte Komponente eines Vierervektors. Warum ist es zeitabhängig? Eine Antwort, die einen Strom erwähnt, ist nicht zufriedenstellend. Die Antwort, die mir die meisten Leute gegeben haben, ist, dass es kein Theorem gibt (wie das, das von einem erhaltenen Strom kommen würde), das garantiert, dass das Integral dieser Dichte konstant ist. Allerdings würde ich dann gerne ein Beispiel für eine Lösung der KG-Gleichung sehen, in der die Zeitabhängigkeit zu sehen ist.
Woher wissen Sie in Bezug auf Ihre zweite Antwort, dass es keine clevere Möglichkeit gibt, die Ableitungen zu manipulieren, um einen anderen konservierten Korrent zu erhalten? Tatsächlich gibt es noch mindestens vier weitere! Die Raumzeitinvarianz ergibt die für Lösungen der KG-Gleichung ∂ μ ( J v ) μ = 0 für ( J v ) μ = T μ v . Gibt es etwas, das das macht U ( 1 ) Symmetrie etwas Besonderes, wenn man versucht, Wahrscheinlichkeitsdichten zu beschreiben?
In Bezug auf die dritte Antwort sehe ich, wie dies zu einem Problem führen kann. Gibt es jedoch ein Beispiel, an dem wir dies deutlich sehen können?
„Dann würde ich aber gerne ein Beispiel für eine Lösung der KG-Gleichung sehen, in der die Zeitabhängigkeit zu sehen ist.“ Nun, jede Lösung der KG-Gleichung hat eine explizite Zeitabhängigkeit. Sie können die Entwicklung in Fourier-Modi aufschreiben und nach der Zeit ableiten und sehen, dass das Ergebnis nicht immer auf Null beschränkt werden kann. Im Fall der Schrödinger-Gleichung hilft die Eigenschaft, dass die Hamiltonsche Hermitesche ist, während hier dieselbe Gleichung einfach nicht gilt.
"...Gibt es etwas, das das macht U ( 1 ) Symmetrie speziell bei dem Versuch, Wahrscheinlichkeitsdichten zu beschreiben?..." das ist nur die Definition der Stromdichte. Die nullte Komponente kann nur in diesem Fall als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden: Denken Sie daran, dass elektrische Ladung mit verbunden ist U ( 1 ) Symmetrie, alles andere ist einfach keine Ladung.
"... Gibt es jedoch ein Beispiel, an dem wir dies deutlich sehen können? ..." Noch einmal, Sie können es wirklich nur in Form von Modi aufschreiben und die zeitliche Ableitung davon berechnen. Am Ende haben Sie ein Objekt, das einfach nicht Null ist und nicht überall so sein muss.
Warum können wir die Klein-Gordon-Gleichung nicht mit der Lösung von Feynman (unter Verwendung von Antiteilchen) verwenden?
Probleme der Klein-Gordon-Gleichung
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