Unterschied zwischen Feld- und Wellenfunktion

Ignorieren Sie Spin-, Polarisations- und sogar Lorentz-Probleme, nehmen Sie alle überflüssigen Konstanten auf und berücksichtigen Sie Zeit- und eine Raumdimension.

• Eine komplexe Ein-Teilchen-Wellenfunktion$\psi(x,t)=\langle x|\psi \rangle$eine Raumzeitfunktion ist, die als Wahrscheinlichkeitsdichteamplitude dient. Für den Quantenoszillator im Koordinatenraum gehorcht er der passenden Schrödinger-Gleichung,$(i2\partial_t +\partial^2_x -x^2)\psi =0$. (Nun, in einem verdrehten Sinne ist es eine Art "klassisches Feld der Wahrscheinlichkeitsamplitude", wie Sie vorschlagen.)

• Ein echtes klassisches Feld$\phi(x,t)$ist eine Raumzeitfunktion. Wie Sie in klassischen Mechaniktexten nachlesen, stellt eine freie eine Überlagerung von Normalmoden einer Unendlichkeit von gekoppelten Oszillatoren auf einer Linie dar (Gitter, wenn ihr Abstand verschwindet). Hier stellt x jedoch stattdessen die Gleichgewichtsposition jedes Oszillators dar und nicht die Verschiebung aus dem Gleichgewicht (wie es für den klassischen Elternteil des obigen einzelnen Oszillators der Fall war). Die Euler-Lagrange-Gleichung, die es erfüllt, ist$(\partial_t^2-\partial_x^2 + m^2)\phi=0$. Die entkoppelten Normalmoden sind in der Fourier-Transformation deutlicher,$\tilde{\phi}(k,t)=\int dx ~e^{-ikx} \phi(x)$, So$\tilde{\phi}(k,t)=e^{it\sqrt{k^2+m^2}} c_k + e^{-it\sqrt{k^2+m^2}} c^*_k$, für numerische Koeffizienten c _k .

• Ein Quantenfeld$\Phi(x,t)$ist ein nicht kommutativer Operator , der mit dem obigen Ausdruck verknüpft ist, außer mit geeigneten ( k -abhängigen) normalisierten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren$a_k^\dagger, a_k$Ersetzen der obigen c-Zahlen c _k und c _k* des klassischen Bereichs. ( x bleibt ein klassischer Parameter! ) Diese Normalmoden sind voneinander entkoppelt (die String-Lagrangian wurde für sie diagonalisiert) und kommutieren untereinander; sie gehorchen offensichtlich derselben linearen Gleichung wie das klassische Feld, da die Operatorkoeffizienten es nicht beeinflussen: Die Wellenoperatoren wirken auf die c-Zahl-Parameter. Das heißt, jeder normale Modus$\tilde{\phi}_k$der obigen Saite wurde als klassischer Oszillator „zuerst quantisiert“, aber diese organisierte Ansammlung einer Unendlichkeit identischer solcher läuft auf eine „zweite Quantisierung“ hinaus ; siehe auch WP . Da es unendlich viele Oszillatoren (Anregungen, identische Teilchen) enthält, ist jeder Konfigurationszustandsvektor eine bestimmte Anordnung von Erzeugungsoperatoren, die auf das Fock-Vakuum einwirken, während Übergangsverstärker Vakuum-Erwartungswerte von Strings solcher Felder sind. Im ersten Band des Textes von Björken und Drell können Sie die Lösung dynamischer Gleichungen als Wellenfunktionen durchgehen, und im zweiten die gleichen Gleichungen und Lösungen als Körper. Solange Sie sich an die richtige Interpretation und Verwendung halten ...

• Wenn Ihr Leben davon abhängen würde, könnten Sie eine Art Wellenfunktion aus einem Feldoperator konstruieren.$\langle x| \Phi (x',t)|0\rangle$, jetzt eine fast lokalisierte c-Zahl-Funktion, aber vorsichtiges Betreten ist notwendig, um eine Reihe von Verwirrungen zu vermeiden.