Masselose Grenze des Klein-Gordon-Propagators

Ich arbeite mit dem Propagator, der mit der Klein-Gordon-Gleichung verbunden ist, wie sie in "Quantum Physics a Functional Integral Point of View", James Glimm, Arthur Jaffe oder wie hier abgeleitet: http://www.wiese.itp.unibe, abgeleitet wurde . ch/lectures/fieldtheory.pdf § 5.4

Es stellt sich heraus, dass der Propagator ausgewertet werden kann und ein enger Ausdruck dafür angegeben werden kann, nämlich:

C ( M ; X − j ) = ( 1 2 π ) − D 2 ( M | X − j | ) D − 2 2 K D − 2 2 ( M | X − j | )

Wo K ist die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art. Ich würde die masselose Grenze in zwei Dimensionen nehmen wollen; beim Einstellen D = 2 Und M = 0 einer der Terme in der rechten Seite der Gleichung wird zu ausgewertet 0 0 während die modifizierte Bessel-Funktion gegen unendlich geht. Wie berechne ich die masselose Grenze für den Klein-Gordon-Propagator in 2D?

Danke schön!

Antworten (3)

Eine schöne Möglichkeit, um zu sehen, wie sich die Korrelationsfunktion verhält, wird hier beschrieben , wo gezeigt wird, dass der Propagator als geht

C ( R ) = 1 2 π Protokoll ⁡ ( R )
was auch als durch Qmechanics hint gegeben angesehen werden kann . Das Interessante ist jetzt nicht, dass es divergiert R = 0 (das passiert sogar in 4D wo C ( R ) = 1 / 4 π 2 R 2 ), aber dass es auch als divergiert R → ∞ . Dies ist eine Infrarot-Divergenz, auf die ich vorher noch nie gestoßen war. Der oben verlinkte Wikipedia-Artikel besagt, dass dies ein zweidimensionales masseloses Skalarfeld mathematisch etwas schwierig zu definieren macht und dass eine kontinuierliche Symmetrie in zwei Dimensionen nicht spontan gebrochen werden kann. Sehr interessant!

Hinweis: Verwenden Sie zB die modifizierte Bessel-Funktion K 0 verhält sich wie minus der Logarithmus für kleine Argumente nahe Null.

Referenz:

  1. Abramowitz & Stegun, Handbuch mathematischer Funktionen, p. 375, Gl. (9.6.8). Eine Online-Version finden Sie zB hier .
Link ist jetzt tot. Versuchen Sie stattdessen die Google-Suche .

Ich würde dir den ersten Satz empfehlen D = 2 geben

C ( M ; X − j ) = 1 2 π K 0 ( M | X − j | )
und nehmen Sie dann die masselose Grenze.

Vielleicht hätte ich das erwähnen sollen, ich habe diesen Ansatz ausprobiert ... Bei der Einnahme von M ⟶ 0 Grenze, zu der die Bessel-Funktion geht ∞ so dass der Propagator überall unendlich ist ...
Masselose Grenze des Klein-Gordon-Propagators
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