Physikalisch wissen wir, dass sich ein BEC gebildet hat, wenn eine makroskopische Anzahl von Bosonen einen einzigen Quantenzustand einnehmen. Die Wellenfunktion der letzteren, normiert auf die Gesamtzahl der kondensierten Atome , gibt die makroskopische Beschreibung des Kondensats. wird die übliche Schrödinger-Gleichung im Einfangpotential erfüllen (was der Spezialfall der Gross-Pitaevskii-Gleichung mit Null-Wechselwirkungen ist).
Andererseits sollte eine makroskopische Grenze eines Bosonenfeldes durch die (klassische) Klein-Gordon-Gleichung beschrieben werden. In der relevanten nicht-realtivistischen Grenze ist die Streuung des Klein-Gordon-Feldes quadratisch, wie in der Schrödinger-Gleichung, aber ich kämpfe darum, ersteres aus letzterem abzuleiten.
Ist es trotz dieser technischen Schwierigkeit von mir eine gültige Behauptung, dass BEC eine physikalische Realisierung der nicht-relativistischen, klassischen Wellengrenze eines Bosonenfeldes ist? Ich sehe es in der gleichen Weise wie die Beschreibung des elektrischen Feldes der Laserstrahlung als klassische Grenze des quantenkohärenten Zustands.
(Der Unterschied zwischen Zahlenzuständen und kohärenten Zuständen in der Grenze ist hier hoffentlich nur eine Formsache).
Ja, es ist gültig. Das Schrödinger-Feld ist die nichtrelativistische Grenze des Klein-Gordon-Felds, aber Sie müssen die Grenze etwas vorsichtig nehmen, weil Sie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in separate Felder trennen müssen, die zu angemessen gemischten Real-/Imaginärteilen des Schrödinger-Felds werden .
Der Weg dazu besteht darin, die Dispersion im skalaren Klein-Gordon-Feld auf die zweite Ordnung zu erweitern und (in der freien Theorie) zu identifizieren mit (die Restmasse wegwerfend), wo ist der nichtrelativistisch normierte Erzeugungsoperator für Modus k. Dann ist die Fourier-Transformation von , und im Gegensatz zur relativistischen Theorie, hat es eine unmittelbare Interpretation als Vernichtungsoperator, der ein Teilchen bei x entfernt, und von der Expansion der Dispersion gehorcht es der Schrödinger-Gleichung, und von der komplexen Konjugation ist es ein komplexes Feld, dessen Konjugierte Modi in der Nähe von - m Energie in der relativistischen Theorie.
Das ist sowieso das freie Feld. Das Wechselwirkungsfeld ist in der nichtrelativistischen Grenze einfacher, daher ist es einfacher, die Wechselwirkungen einzuführen, indem man direkt dort beginnt (obwohl Sie dies natürlich tun können, indem Sie die Grenze nehmen).
Quillo