Warum müssen wir Teilchen in Felder einbetten?

In der QFT haben wir das sogenannte Einbetten von Teilchen in Felder. Dies wird in Weinbergs Buch, Kapitel 5, in aller Allgemeinheit diskutiert. Zusammenfassend macht man Folgendes:

  1. Aus Wigners Klassifikation für jeden ( m , j ) mit m ∈ [ 0 , ∞ ) und positive Halbzahl j wir haben eine einheitliche Darstellung der Poincare-Gruppe, die ein Elementarteilchen charakterisiert, aus der wir einen Fock-Raum aufbauen können. Dies ergibt Vernichtungs-/Erzeugungsoperatoren a ( p , σ ) , a † ( p , σ ) .

  2. Daraus definieren wir

    ψ ℓ − ( x ) = ∑ σ ∫ v ℓ ( x ; p , σ ) a † ( p , σ ) d 3 p , ψ ℓ + ( x ) = ∑ σ ∫ u ℓ ( x ; p , σ ) a ( p , σ ) d 3 p

    und dann fordern wir, dass es eine Vertretung gibt D der Lorentz-Gruppe, so dass

    U 0 ( Λ , a ) ψ ℓ ± ( x ) U 0 − 1 ( Λ , a ) = ∑ l ' D ℓ ℓ ¯ ( Λ − 1 ) ψ ℓ ¯ ± ( Λ x + a ) .

  3. Wenn D ( j ) ist die kleine Gruppendarstellung zugeordnet ( m , j ) die obigen Anforderungslinks D und D ( j ) .

Nun, ich würde wirklich gerne verstehen, warum man das tut , aber wirklich verstehen, in dem Sinne, dass ich tatsächlich sehe, warum dies notwendig ist, weil ich mir das gerade anschaue und denke: „Okay, aber warum sollte das überhaupt jemand tun“?

Dies wurde hier in der Antwort von @ACuriousMind angedeutet , und ich möchte diese Diskussion hier erweitern. In der Antwort heißt es:

Die Definition des Feldes, das Werte in einem Vektorraum annimmt, beschränkt es auf die Transformation in eine endlichdimensionale Darstellung, daher kann es kein Teilchen von Wigner sein. Wichtig ist, dass Felder zwar die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die Teilchen in ihrer Modenentwicklung enthalten, sich aber selbst nicht wie Teilchen umwandeln. Es ist der Hilbert-Raum einer QFT, der die richtigen einheitlichen Darstellungen tragen muss, nicht die Felder.

Wir brauchen ein Feld, weil es die Dynamik der Theorie codiert - eine QFT braucht eine Karte zwischen Ein- und Aus-Zuständen, die durch die S-Matrix gegeben ist, die aus der Feldaktion über das Pfadintegral (oder den LSZ-Formalismus oder einen anderen Ansatz) erhalten wird mit denen du dich am wohlsten fühlst). Die bloße Kenntnis der Fockräume (über Wigners Klassifikation) reicht dafür nicht aus.

In gewissem Sinne scheint es also, dass diese ganze Sache, Teilchen in Felder einzubetten, für die Dynamik notwendig ist. Das wird auch von Weinberg vorgeschlagen, aber ich kann es nicht so einfach verstehen.

Auch wenn wir von Weinbergs Standpunkt ausgehen, dass Teilchen zuerst kommen, wobei Wigners Theorem wirklich der Ausgangspunkt ist und Felder später kommen, macht dies noch weniger Sinn.

Meine Frage: Warum brauchen wir intuitiv diese Einbettung von Teilchen in Felder? Warum ist das notwendig? Wie können wir das betrachten und tatsächlich sehen, dass dies notwendig ist, und dies verstehen.

Es scheint die grundlegende Verbindung zwischen Quantenfeldern und relativistischen Teilchen zu sein, und ich kann immer noch nicht die grundlegende Idee dahinter verstehen, und das möchte ich verstehen.

Das Konzept der auf einem Feld operierenden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird nicht nur in der Teilchenphysik verwendet. Es ist eine Form einer Erweiterung, die zu den Lösungen einer quantenmechanischen Differentialgleichung passt, bei der das Potential nicht bekannt ist und nicht analytisch gelöst werden kann, wie bei den Wasserstoffwellenfunktionen. Man nimmt die Lösungen der QM-Gleichung für freie Teilchen als ein bei allen (x, y, z, t) definiertes Feld und verwendet die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, um die Existenz eines Teilchens unter einem vorgeschriebenen Integral zu modellieren.
Die Bewegung eines Teilchens wird dann bei jedem (x,y,z,t) zu einer sich bewegenden Störung auf dem zugrunde liegenden Feld der freien Teilchenlösung. Um ein echtes Teilchen zu modellieren, braucht man Wellenpakete, aber zum Berechnen von Querschnitten usw. mit Feynman-Diagrammen ist das alles, was man braucht. Dies ist das Verständnis all dieser Gleichungen, die ich als Experimentator mit der Hand winke :).
@annav, eigentlich fühle ich mich mit den Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren nicht schlecht. Weinberg zeigt, dass das Bild des Fock-Raums ganz natürlich ist, wenn wir eine Quantentheorie relativistischer Teilchen niederschreiben wollen und damit Poincare-Invarianz fordern. Wenn wir mit Feldern beginnen (so viele Lehrbücher) und beim Quantisieren Partikel finden, erscheint die Einbettung nicht so seltsam. Aber wenn wir mit Partikeln wie Weinberg beginnen, bekommen wir dann den Fock-Raum, Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren, aber warum dann Felder? Weinberg sagt, es sei, einen vernünftigen Hamiltonian zu schreiben. Trotzdem verstehe ich nicht, warum das vernünftig ist.
Meine Antwort ist "um die Integrale berechnen zu können, braucht man schließlich Feynman-Diagramme". Das ganze Konzept ist so, dass man ohne das Feld (ebene Wellenfunktionen der entsprechenden Differentialgleichung, Dirac oder Klein Gordon oder quantisierter Maxwell) berechnen kann, dass man keinen Querschnitt berechnen oder Vorhersagen treffen kann überprüft werden. Siehe eine relevante Antwort von mir hier physical.stackexchange.com/q/134958

Antworten (2)

Die befriedigendste Antwort, die ich auf diese Frage gesehen habe, kommt aus der Perspektive der algebraischen Quantenfeldtheorie (AQFT) , einer Formulierung der QFT, die vollständig auf Observablen basiert und Felder überhaupt nicht erwähnt . Das Muster der Observablen muss einige relativ einfache Bedingungen erfüllen, auf die ich weiter unten eine Vorschau geben werde. Nachdem die Bedingungen in mathematisch strengen Begriffen ausgedrückt sind (was ich weiter unten nicht tun werde), können wir zwei Dinge tun: (1) wir können folgern , dass Observable in Form von Feldern konstruiert werden können, und (2) wir können die operativ charakterisieren Phänomene , die wir Teilchen nennen. Der zentrale Punkt dabei ist, dass (1) und (2) logisch unabhängig voneinander sind. Es ist also nicht so, dass wir Teilchen in Felder einbetten müssen ; wir können es eben – und das ist so unvergleichlich bequem, dass wir es praktisch immer tun .

(Dies beantwortet nicht die historische Frage, wie Menschen auf die Idee gekommen sind, Felder zu verwenden, aber es beantwortet die logische Frage, warum wir das im Nachhinein tun könnten.)

AQFT basiert auf der Idee, dass Observables eher mit Regionen der Raumzeit als mit Objekten (wie Partikeln) assoziiert werden sollten. Dies ist auch die Idee in anderen Formulierungen von QFT, aber während sich andere Formulierungen mit bequemen Wegen zum Konstruieren von Observablen befassen (was natürlich wichtig ist), befasst sich AQFT mit dem, was einfach aus dem Muster von Observablen ohne Annahmen abgeleitet werden kann darüber, wie wir sie tatsächlich konstruieren könnten. Um den Geschmack des Themas zu vermitteln, werde ich hier einige der allgemeinen Prinzipien auflisten. Diese Prinzipien gelten für QFT in der Minkowski-Raumzeit.

Lassen EIN bezeichnen die von allen Observablen erzeugte Algebra unter Verwendung des Heisenberg-Bildes. In jedem spezifischen Modell haben wir eine Sammlung von Unteralgebren EIN ( Ö ) ⊂ EIN mit offenen Teilmengen verknüpft Ö der Minkowski-Raumzeit. Lokale Observablen sind Elemente dieser Unteralgebren.

Eines der allgemeinen Prinzipien ( Mikrokausalität oder Einstein-Kausalität ) besagt, dass wenn Ö 1 und Ö 2 zwei raumartig getrennte Regionen sind, was bedeutet, dass keine zeitartige Weltlinie durch beide geht, dann ist alles drin EIN ( Ö 1 ) pendelt mit allem drin EIN ( Ö 2 ) . Insbesondere heißt es, dass raumartig getrennte lokale Observablen miteinander kommutieren. Dies ist von anderen Formulierungen der QFT bekannt.

Ein weiteres allgemeines Prinzip (manchmal als lokale primitive Kausalität bezeichnet, eine Verfeinerung des Zeitscheiben- Axioms) besagt, dass wenn Ö 1 und Ö 2 sind zwei Regionen, die jede zeitähnliche Weltlinie durchziehen Ö 1 geht auch durch Ö 2 , dann EIN ( Ö 1 ) ⊆ EIN ( Ö 2 ) . Insbesondere besagt dies, dass Observables in EIN ( Ö 1 ) gehören ebenfalls zur Algebra EIN ( Ö 2 ) , auch wenn die Region Ö 2 liegt weit in der Zukunft (oder Vergangenheit) von Ö 1 . Dies ist auch aus anderen Formulierungen der QFT im Heisenberg-Bild bekannt.

AQFT nimmt auch die Spektrumbedingung an, die besagt, dass das Spektrum des Generators von Zeittranslationen (das eine Observable, aber keine lokale Observable ist) eine untere Grenze haben muss. Auch das kommt einem bekannt vor.

Der Punkt, diese vertrauten Dinge zu wiederholen, besteht darin, zu betonen, dass sie alle in Form von Observablen ausgedrückt werden, ohne dass Felder erwähnt werden. Dies ist wichtig, denn wenn wir eine Art "Isomorphismus" in der "Kategorie" von QFTs definieren wollten, wären diese reinen Observablen-Strukturen diejenigen, die der Isomorphismus bewahren soll.

Weitere Einzelheiten über AQFT finden Sie unter http://arxiv.org/abs/math-ph/0602036 , und die klassische Quelle ist Haags Buch Local Quantum Physics. Obwohl Texte über AQFT tendenziell mathematische Strenge betonen, ist der wichtige Punkt hier, dass sie eine gute konzeptionelle Grundlage bieten.

Wie Landau und Lifshitz in ihrem Buch über Quantenmechanik (Seite 241) erklären, soll der zweite Quantisierungsformalismus es uns ermöglichen, Zustände mit variablen oder unbestimmten Teilchenzahlen zu beschreiben. Anders ausgedrückt, obwohl dieser Formalismus zunächst auf dem Einzelteilchen-Hilbert-Lösungsraum basiert, erlaubt er uns, Zustände zu beschreiben, die allgemeiner sind als eine abzählbare Anzahl von Teilchen.

Das bekannteste Beispiel, wo dieser Formalismus notwendig wird, ist der relativistische Zustand (unbestimmter Anzahl von) weichen Photonen in der Nähe geladener Teilchen.

zusätzlich ψ − Bediener erhalten ein Eigenleben, wenn die Interaktion eingeschaltet ist. Sie beschreiben Quantenfelder, auch wenn sie nicht in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zerlegt werden können.

Eine Art von Zuständen, die wir mit dem zweiten quantisierten Formalismus beschreiben können, sind Zustände mit unendlichem Volumen und endlicher Dichte, bei denen die Anzahl der Teilchen unendlich ist. Es gibt physikalische Phänomene, die nur unter diesen Bedingungen auftreten können, zum Beispiel die axiale Anomalie. Es erfordert die Existenz (einer unendlichen Anzahl von Zuständen) eines Dirac-Meers, aus dem die axiale Ladung gezogen wird.

Danke für die Antwort. Aber die Beschreibung eines Systems variabler oder unbestimmter Teilchenzahlen kann bereits im Fock-Raum erfolgen, oder? Also, nach Weinbergs Argumentation: Poincare-Symmetrie impliziert, dass Quantenzustandsräume einheitliche Repräsentanten der Poincare-Gruppe tragen müssen. Wigners Klassifizierung ergibt die Ein-Teilchen-Zustandsräume und dann bauen wir die Fock-Räume auf diesen auf, um eine variable/unbestimmte Anzahl von Teilchen zu beschreiben.
Weinberg behauptet, dass man Felder braucht, um eine Lorentz-Invarianz-Wechselwirkung aufzuschreiben, die dem Prinzip der Cluster-Zerlegung gehorcht. Er zeigt tatsächlich im Detail, dass das funktioniert. Aber wie um alles in der Welt würde jemand darüber nachdenken? Was ist die Intuition, Felder einzuführen, um die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren zu verpacken? Ich möchte die zugrunde liegende Idee/Motivation verstehen.
Nun, wenn Sie das EM-Feld quantisieren, und ich verstehe nicht, warum Sie das nicht tun sollten, erhalten Sie Photonen. Sie würden das EM-Feld aus vielen Gründen in ein Quantenobjekt verwandeln, einer davon ist, dass mit Partikeln verbundene Observablen quantisiert werden. Warum also nicht das EM-Feld quantisieren, das auch ein Observable ist? Und dann bekommt man dadurch Photonen. Sie haben also die Idee, warum nicht ein paar weitere Felder quantisieren und sehen, was passiert? Warum nicht einige Gleichungen wie Klein-Gordon als Feldgleichung neu interpretieren? Dies ist also eine mögliche Route des Gedankenzugs.
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