$\renewcommand{ket}[1]{|#1\rangle}$Punkt 4 in Ihrer Liste ist am besten als Definition des Wortes „Partikel“ zu verstehen.

Stellen Sie sich eine klassische vibrierende Saite vor. Angenommen, es hat einen Satz normaler Modi bezeichnet$\{A, B, C, \ldots\}$. Um den Zustand des Strings anzugeben, schreiben Sie ihn als Fourier-Reihe

$$f(x) = \sum_{\text{mode } n=\in \{A,B,C,\ldots \}} c_n [\text{shape of mode }n](x) \, .$$

Im typischen Fall$[\text{shape of mode }n](x)$ist so etwas wie$\sin(n\pi x / L)$wo$L$ist die Länge der Zeichenfolge. Wie auch immer, der Punkt ist, dass Sie die Zeichenfolge beschreiben, indem Sie ihre möglichen Modi aufzählen und den Betrag angeben, um den jeder Modus angeregt wird, indem Sie die angeben$c_n$Werte.

Angenommen Modus$A$hat eine Energieeinheit, Modus$C$hat zwei Energieeinheiten, und alle anderen Modi haben null Energieeinheiten. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Sie diese Situation beschreiben können.

Aufzählen der Modi (gut)

Die erste Option ist wie die Fourier-Reihe: Sie zählen die Moden auf und geben jeweils das Erregungsniveau an:

$$|1\rangle_A, |2\rangle_C \, .$$ Dies ist wie eine zweite Quantisierung; Wir beschreiben das System, indem wir angeben, wie viele Anregungseinheiten in jedem Modus vorhanden sind. In der Quantenmechanik verwenden wir das Wort „Teilchen“ anstelle des Ausdrucks „Anregungseinheit“. Dies liegt vor allem daran, dass wir „Erregungseinheiten“ historisch zunächst als Dinge verstanden haben, die wir mit einer Nebelkammer oder einem Geigerzähler erkennen konnten. Um ehrlich zu sein, denke ich, dass "Partikel" ein ziemlich schreckliches Wort ist, wenn man bedenkt, wie wir die Dinge jetzt verstehen.

Beschriften Sie die Einheiten der Erregung (schlecht)

Die zweite Möglichkeit besteht darin, jeder Erregungseinheit eine Bezeichnung zu geben und dann anzugeben, in welchem ​​Modus sich jede Erregung befindet. Nennen wir die Erregungen$x$,$y$, und$z$. In dieser Notation wäre dann der Zustand des Systems

$$\ket{A}_x, \ket{C}_y, \ket{C}_z \, .$$ Dies ist wie die erste Quantisierung. Wir haben jetzt die "Partikel" bezeichnet und das System beschrieben, indem wir gesagt haben, in welchem ​​Zustand sich jedes Partikel befindet. Dies ist jedoch eine schreckliche Notation, da der von uns geschriebene Zustand diesem entspricht $$\ket{A}_y, \ket{C}_x, \ket{C}_z \, .$$ Tatsächlich jede Permutation von $x,y,z$gibt den gleichen Zustand der Zeichenfolge. Aus diesem Grund ist die erste Quantisierung schrecklich: Teilchen sind Anregungseinheiten, daher ist es völlig bedeutungslos, ihnen Bezeichnungen zu geben .

Traditionell wurde diese schreckliche Notation behoben, indem die zuerst quantisierten Wellenfunktionen symmetrisiert oder antisymmetrisiert wurden. Dies hat den Effekt, dass die Informationen entfernt werden, die wir durch das Beschriften der Partikel injiziert haben, aber Sie sind viel besser dran, sie überhaupt nicht zu beschriften und eine zweite Quantisierung zu verwenden.

Bedeutung von 2$^{\text{nd}}$Quantisierung

Zurück zur zweiten Quantisierungsnotation, unsere Zeichenfolge wurde geschrieben

$$\ket{1}_A, \ket{2}_C$$ bedeutet eine Anregung (Teilchen) in $A$und zwei Anregungen (Teilchen) in $C$. Eine andere Möglichkeit, dies zu schreiben, könnte darin bestehen, ein einzelnes Ket zu schreiben und einfach alle Anregungszahlen für jeden Modus aufzulisten: $$\ket{\underbrace{1}_A \underbrace{0}_B \underbrace{2}_C \ldots}$$ so wird die zweite Quantisierung tatsächlich geschrieben (ohne die Unterklammern). Dann kann man das erkennen $$\ket{000\ldots \underbrace{N}_{\text{mode }n} \ldots000} = \frac{(a_n^\dagger)^N}{\sqrt{N!}} \ket{0}$$ und schreiben Sie einfach alle Zustände als Zeichenfolgen von Erstellungsoperatoren, die auf den Vakuumzustand wirken.

Wie auch immer, die Interpretation der zweiten Quantisierung ist nur, dass sie Ihnen sagt, wie viele Anregungseinheiten ("Quanten" oder "Teilchen") in jedem Modus genau so sind , wie Sie es in der klassischen Physik tun würden.

Siehe diesen Beitrag .

Kommentare zu Nr. 4 von OP

In der Quanteneinführung lernen wir Systeme mit einem einzelnen Teilchen kennen, beispielsweise in einer 1D-Box. Dieses Teilchen kann auf eine Vielzahl unterschiedlicher bezeichneter Energieniveaus angeregt werden$\ket{0}, \ket{1},\ldots$. Wir bezeichnen dieses System als "ein einzelnes Teilchen", unabhängig davon, in welchem ​​​​Zustand sich das System befindet. Dies scheint den obigen Aussagen in dieser Antwort zu widersprechen, in denen wir sagten, dass die verschiedenen Erregungsniveaus als Null bezeichnet werden , ein, zwei Teilchen. Wie wir jetzt besprechen, ist es jedoch vollkommen konsistent.

Lassen Sie uns die äquivalenten ersten und zweiten quantisierten Notationen für das einzelne Teilchen schreiben, das sich in jedem Zustand befindet:

$$\begin{array}{lllll} \text{second quantization:} & \ket{1,0,0,\ldots}, & \ket{0,1,0,\ldots}, & \ket{0,0,1,\ldots} & \ldots \\ \text{first quantization:} &\ket{0}, &\ket{1}, &\ket{2}, & \ldots \end{array}$$ Obwohl es in der ersten quantisierten Notation überhaupt nicht offensichtlich ist, macht die zweite quantisierte Notation deutlich, dass die verschiedenen ersten quantisierten Zustände beinhalten, dass das Teilchen unterschiedliche Modi des Systems einnimmt. Dies ist eigentlich ziemlich offensichtlich, wenn wir an die Wellenfunktionen denken, die den verschiedenen Zuständen zugeordnet sind, z. B. unter Verwendung der ersten quantisierten Notation für eine Box der Länge $L$ $$\begin{align} \langle x | 0 \rangle & \propto \sin(\pi x / L) \\ \langle x | 1 \rangle & \propto \sin(2\pi x / L) \, . \end{align}$$ Diese sind genau wie die verschiedenen Modi der schwingenden Saite. Wie auch immer, Aufrufen der ersten quantisierten Zustände $\ket{0}$, $\ket{1}$usw. "Einzelteilchenzustände" stehen im Einklang mit der Idee, dass ein Teilchen eine Anregungseinheit eines Modus ist, da jeder dieser Zustände eine Gesamtanregung hat, wenn Sie alle Modi summieren. Dies ist in der zweiten quantisierten Notation wirklich offensichtlich.

In der statistischen Mechanik des großkanonischen Ensembles muss man Überlagerungen und Mischungen von Zuständen mit unterschiedlicher Teilchenzahl berücksichtigen. Somit wird man natürlich dazu geführt, das Tensorprodukt von zu betrachten$N$-Teilchenräume mit beliebigen$N$. Es stellt sich heraus (und ist sehr relevant für die statistische Nichtgleichgewichtsmechanik), dass man die resultierende Quantenmechanik mit beliebiger Anzahl von Teilchen als nichtrelativistische Feldtheorie uminterpretieren kann, in der der Zahlenoperator so definiert ist, dass er den Eigenwert hat$N$an$N$-Teilchenraum. (Wenn man einen einzelnen Fourier-Modus betrachtet, erklärt dies Ihre 4.)

Der resultierende Feldformalismus wird als zweite Quantisierung (des ersten quantisierten 1-Teilchen-Raums) bezeichnet. Nachzulesen ist dies zB im Anhang von Reichls Buch Statistische Physik.

Ersetzt man die 1-Teilchen-Schrödinger-Gleichung durch die Klein-Gordon- oder Dirac-Gleichung erhält man (nach normaler Ordnung) die relativistische Version.

Der Begriff ist praktisch, aber in Wirklichkeit gibt es nur eine Quantisierung. Dies sollte es ein wenig überdehnen, da ich die Klein-Gordon-Gleichung dann als klassisch betrachte. Das liegt daran, dass ich Maxwells Gleichungen als klassisch betrachte. Beide Gleichungen liegen auf der gleichen Ebene und daher halte ich Klein-Gordon für klassisch. Die klassischen Normalmodus-Schwingungen von Maxwell- oder Klein-Gordon-Feldern sind stehende Wellen. Die einzelnen Schwingungen werden als eindimensionale harmonische Oszillatoren quantisiert.

Die zweite Quantisierung von Fermionen ist nur eine Möglichkeit, die Antisymmetriebedingung zu handhaben. Hier ist die erste Quantisierung (wie von Heisenberg, Schrödinger und Dirac angegeben) die eigentliche Quantisierung.