Noether Erster und Zweiter Satz

Ich habe diese Frage im Zusammenhang mit den Noether-Theoremen. Ich möchte eine ausreichend strenge Formulierung dieses Theorems wissen, der Kontext ist die klassische Feldtheorie ohne ausgefallene geometrische Strukturen, aber die üblichen Dinge, die Sie wissen müssen, um QFT und die Verwendung von Lie-Gruppen zu machen (ohne zu abstrakt zu sein, ich brauche eine vernünftige Verbindung mit Teilchenphysik).

Für das, was ich in Standardtexten der klassischen Mechanik, Peskin, Brading und Brown und der These eines dieser Autoren gelesen habe, ist mir nicht wirklich klar, was eine Symmetrietransformation und Noethers Theoreme sind, wenn sie aus einer gruppentheoretischen Perspektive und den Wissensbeschränkungen betrachtet werden oben erwähnt.

Für das, was ich in anderen Beiträgen auf der Website gelesen habe, ist die Gruppe, die auf die Lagrange-Funktion einwirkt und die Stromerhaltung (Erhaltungsgesetz) und Noethers Theoreme angibt, die Gruppe der Transformationen im Feldraum$\mathfrak{F(\mathcal{M})}$das ist$\mathcal{G} = \{ \Lambda: \mathcal{M} \rightarrow G \}$Wo$\mathcal{M}$ist eine Mannigfaltigkeit (fürs Erste sagen wir einfach Minkowski-Raum oder Euklidisch ),$\Lambda(x)$ist die Verwandlung und$G$ist eine Gruppe in der Regel kompakt wie$SU(N)$oder Poincaré/Galileo. Aber das Problem ist, dass zwischen dieser Tatsache und dem, was ich unter Verwendung der oben erwähnten Literatur über Noethers Theoreme gelesen habe, ein großer Unterschied im Verständnis besteht.

Nach dem, was sie in der Arbeit tun, definieren wir die Gesamtvariation der Aktion als$\hat{\delta}S\equiv S(\phi'(x'), \partial_{\mu},\phi(x'),x') -S(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x),x)$. Sie definieren auch eine generische Transformation der Aktion als$\Delta S \equiv \tilde{S}(\phi'(x'), \partial_{\mu},\phi(x'),x') -S(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x),x)$. Die Transformationen, die beide Variationen ergeben, sind "infinitesimal" (was sind sie strenger?). Frage a) Sind diese Elemente von$\mathcal{G}$? Ich glaube sie sind.

In der Diplomarbeit definieren sie eine Symmetrie als die Transformationen (ich nehme an, Elemente von$\mathcal{G}$) die geben$\hat{\delta} S = 0$. Hier denke ich, dass sie wieder über die Wirkung einiger infinitesimaler Transformationen sprechen$\mathcal{G}$. Dann leiten sie die sogenannten Noether-Beziehungen her, ohne die Lagrange-Euler-Bedingungen aufzustellen. Jene sind:

$$\begin{equation} \sum_{i=1}^{N} \left( \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_i)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} \right)\delta \phi_i= \sum_{i=1}^N \partial_{\mu}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi_i)}\delta \phi_i + \mathcal{L}\delta x^{\mu} \right) \end{equation}$$ Dann tun sie folgendes. Um Noethers erstes Theorem auszusprechen, beschränken sie sich auf „endlich dimensionale kontinuierliche Gruppen von Transformationen, die reibungslos abhängen $\rho$unabhängige Parameter $\omega_{i}, (i= 1, \cdots, \rho)$ „Das gibt $\hat{\delta}S = 0$. Dann dehnen sie sich weiter aus $\delta \phi$um die Parameter herum und legen Sie Lagrange-Euler-Gleichungen auf und erhalten Sie den Erhaltungssatz. Denn was ich verstehe, ist, dass sie sich auf die "infinitesimale Gruppenaktion" einer Gruppe von Transformationen beschränken, die von endlichen Parametern abhängt. F b) Dies ist keine Lie-Gruppe, richtig? Welche Beziehung besteht zur üblichen physikalischen Definition globaler Symmetrien als „die infinitesimale Aktion einer endlichdimensionalen Lie-Gruppe, die sich verlässt $S$unveränderlich"

Frage c) Sprechen sie über eine Untergruppe von$\mathcal{G}$das ist endlich? wie ist das wenn$\mathcal{G}$ist unendlich dimensional? Reden sie über$G$? oder ist das die Untergruppe von$\mathcal{G}$ist irgendwie isomorph zu G? Sie scheinen auf die gleiche Weise zu handeln.

In der Arbeit beziehen sie sich nur auf Transformationen, die nicht auf Koordinaten wirken ("sie haben sie als Eichtransformationen definiert"), aber in der Dissertation wird der gleiche Ansatz mit einer Transformation verfolgt, die Koordinaten ändert.

Für den zweiten Satz von Noether betrachten sie die unendlich dimensionale Gruppe von Transformationen mit endlichen Parametern, die von x abhängen (dh Funktionen). Ich verstehe das wirklich nicht. Wie kommt es, dass die Parameter, die explizit von der Raumzeit abhängen, die Dimension der Gruppe von Transformationen ändern? Wie sich dieser Zweite Satz auf gewöhnliche lokale Symmetrien bezieht, wie sie in Lehrbüchern der Physik definiert sind, ist zumindest für mich noch unklarer.

Vielen Dank im Voraus.