2D anomaliefreie Bedingung für eine Eichtheorie

Die Anomalie-Aufhebungsbedingung für den Gravitationsteil der chiralen Anomalie (unter Vernachlässigung von Eichladungen) ist einfach, dass es die gleiche Anzahl von linken und rechten Bewegungsfeldern gibt

$$N_L = N_R$$

was in Ihrem Fall ist

$$3 N(1_L) + N(0_L) = 2 N(1/2_R),$$

Wo$N(R)$gibt die Anzahl der (komplexen) Felder in jeder Darstellung an. Die Vorfaktoren sind die (komplexen) Dimensionen der Eichmultipletts.

Beachten Sie zur Bestimmung des Eichanteils der chiralen Anomalie, dass die$SU(2)$Das Chern-Simons-Niveau kann daraus bestimmt werden$U(1)$Untergruppe, so dass es gleichbedeutend ist, die zu bestimmen$U(1)$Messanomalie. Diese Anomalie-Aufhebungsbedingung ist

$$\sum_i q_i^2 = \sum_j q_j^2,$$

Wo$i$Indizes nach links bewegte Ladungsträger und$j$Indiziert nach rechts bewegte Ladungsträger.

Der$SU(2)$Triplet hat eine Ladung$+2$und eine Gebühr$-2$Träger, das Dublett hat a$+1$und ein$-1$, und das Singulett hat keine Ladungsträger. Die Anomalie-Aufhebungsbedingung ist also

$$8 N(1_L) = 2 N(1/2_R).$$

Beachten Sie, dass diese Technik für jede verbundene kompakte Messgerätegruppe funktioniert, da die Chern-Simons-Niveaus durch ihren maximalen Torus bestimmt werden. Daher läuft die chirale Anomalie in 1+1D immer auf eine Anzahl von hinaus$U(1)$Anomalien (plus Gravitationsanteil), die überprüft werden müssen.