Warum ist 2 eine pseudoreale Darstellung und es gibt keine 2-2-2-Anomalie?

Question

Warum ist 2 eine pseudoreale Darstellung und es gibt keine 2-2-2-Anomalie?

Physik
Eichtheorie
Gruppentheorie
Quantenanomalien
Repräsentationstheorie

Shen

In Srednickis Lehrbuch „Quantum Field Theory“ fordert uns Problem 89.3 auf zu zeigen, dass das Standardmodell anomaliefrei ist. Die Antwort finden Sie im Lösungshandbuch . Auf Seite 150 des Lösungshandbuchs steht es

... Es gibt kein $2$ - $2$ - $2$ Anomalie, weil die $2$ ist eine pseudoreale Darstellung. ...

wo jede der Zahlen $2$ - $2$ - $2$ bezeichnet die Darstellung eines der externen Felder im Dreiecksdiagramm, das die chirale Anomalie erzeugt, in die es sich umwandelt $2$ bezeichnet die fundamentale Darstellung $\mathbf{2}$ von $\mathrm{SU}(2)$ , also das mit Spin- $1/2$ . Warum ist der $2$ eine pseudoreale Darstellung? Und warum gibt es keine $2$ - $2$ - $2$ Anomalie?

Emilio Pisanty

Herzlichen Glückwunsch, dass Sie sich die zu Ihrer Frage geäußerten Bedenken angehört und darauf reagiert haben. genau dafür ist der Verschluss gedacht .

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Warum ist 2 eine pseudoreale Darstellung und es gibt keine 2-2-2-Anomalie?

Herzlichen Glückwunsch, dass Sie sich die zu Ihrer Frage geäußerten Bedenken angehört und darauf reagiert haben. genau dafür ist der Verschluss gedacht .

ACuriousMind · Answer 1

Da Isomorphismusklassen irreduzibler Darstellungen von $\mathrm{SU}(2)$ werden vollständig durch ihren halbzahligen Spin klassifiziert $j\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}$ , gibt es genau eine irreduzible Darstellung von $\mathrm{SU}(2)$ von Dimension $2j+1$ für jede $j$ . Daher sind alle Darstellungen von $\mathrm{SU}(2)$ sind pseudoreal, dh isomorph zu ihrer konjugierten Darstellung, da die konjugierte Darstellung die gleiche Dimension hat.

Die Anomalie hebt sich für pseudoreale Fermionen auf, da der Anomalieterm für einen Faktor enthält

A^{A B C} = {T R}_{R} (T^{A} {T^{B}, T^{C}})

$A^{abc} = \mathrm{Tr}_R(T^a\{T^b,T^c\})$ die in einer pseudorealen Darstellung verschwindet (die

T^{a}

$T^a$ sind die Generatoren von

S U (N)

$\mathrm{SU}(N)$ und die geschweiften Klammern sind der Antikommutator), weil

{T r}_{\bar{R}} (T^{a} {T^{b}, T^{c}}) = - {T r}_{R} (T^{a} {T^{b}, T^{c}}

$\mathrm{Tr}_\bar{R}(T^a\{T^b,T^c\}) = -\mathrm{Tr}_R(T^a\{T^b,T^c\}$ für jede Vertretung

R

$R$ und sein Konjugat

\bar{R}

$\bar{R}$ .

Warum ist 2 eine pseudoreale Darstellung und es gibt keine 2-2-2-Anomalie?

Shen

Emilio Pisanty

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ACuriousMind

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