Eichkovariante Ableitung einer adjungierten Wirkung: ψ(x)→gψ(x)g−1ψ(x)→gψ(x)g−1\psi(x) \to g \psi(x) g^{-1} , statt einer linken Aktion ψ(x)→eiqθ(x)ψ(x)ψ(x)→eiqθ(x)ψ(x)\psi(x)\to e^{iq\theta(x)} \ psi(x)

Lassen Sie mich zunächst eine mögliche Verwirrung beseitigen: Da Sie die Frage als "Elektromagnetismus" gekennzeichnet haben, nehme ich an, dass Sie sich für eine entscheiden$U(1)$Symmetrie. In diesem Fall transformiert sich der Adjoint nicht, da die Gruppe abelsch ist (Sie können es sehen, weil if$\psi(x)$in einer irreduziblen Darstellung ist, dann ist es nur eine komplexe Funktion, kein Vektor:$g$Und$\psi$pendeln, also ist die Transformation die Identität). Ihre Frage ist also für den Elektromagnetismus trivial: die kovariante Ableitung eines Feldes$\psi(x)$in der adjungierten Darstellung ist nur die Standardableitung.

Aber sehen wir uns trotzdem die Antwort für eine nicht-abelsche Gruppe an. Ein Feld$\psi(x)$in der adjungierten Darstellung wird eine Linearkombination der Generatoren sein$T^a$der adjungierten Darstellung (gegeben durch die Strukturkonstanten). Wie bekommt man die kovariante Ableitung von so etwas? Nun, von der Transformation selbst!

Da ich einem Buch folge (Michele Maggiores "Eine moderne Einführung in die Quantenfeldtheorie"), verzeihen Sie mir, dass ich Konventionen geändert habe. Die Dinge, auf die ich mich beziehe, befinden sich in Abschnitt 10.4. Ich empfehle das Buch dringend, es ist sehr gut.

Was ist die allgemeine Transformation für ein Feld in einer beliebigen Darstellung, die von den Generatoren überspannt wird?$T^a$der adjungierten Darstellung? Ein allgemeines Feld in der Darstellung kann in Komponenten geschrieben werden als

$$\psi(x)=\psi^a(x) T^a.$$ Komponentenfelder$\psi^a$haben per Definition die folgende Ableitung: $$(D_\mu\psi)^a(x)=\partial_\mu\psi^a(x)-\mathrm i g (A_\mu^c(x)T^c)^{ab}\psi^b(x).$$ Der Term auf der rechten Seite ist im Grunde eine Multiplikation der Verbindungsmatrix$A_\mu^c(x)T^c$. Ich verwende hier die Tatsache, dass die adjungierte Darstellung dieselbe Dimension wie die Dimension der Lie-Algebra hat. Ich werde alle Indizes bis auf den Raumzeit-Index beibehalten$\mu$.

Vertragen Sie jetzt mit den Generatoren, was Sie bekommen haben, und lassen Sie uns alle Indizes draußen lassen: Sie bekommen

$$(D_\mu\psi)^a(T^a)^{bc}=(\partial_\mu \psi^a)(T^a)^{bc}-\mathrm i g A_\mu^d(T^d)^{ae}(T^a)^{bc}\psi^e.$$ Nun nutzen wir die Tatsache, dass die Erzeuger die Strukturkonstanten sind,$(T^a)^{bc}=-\mathrm i f^{abc}$. Sie können das Produkt von umschreiben$T$ist wie $$(T^d)^{ae}(T^a)^{bc}=-f^{dae}f^{abc}=f^{dac}f^{eba}-f^{eac}f^{dba}=(T^e)^{ac}(T^d)^{ba}-(T^d)^{ac}(T^e)^{ba}=[T^d,T^e]^{cb}.$$ Hier habe ich Antisymmetrie und Jacobi-Identität auf die Strukturkonstanten angewendet. Bitte überprüfen Sie meine Zeichen!

Kehren wir zu unserer Erweiterung zurück.

$$(D_\mu\psi)^a(T^a)^{bc}=\partial_\mu\psi^a(T^a)^{bc}-\mathrm i g A_\mu^d[T^d,T^e]^{bc}\psi^e.$$ In Matrixdarstellung erhalten wir $$D_\mu\psi=\partial_\mu\psi-\mathrm i g[A_\mu,\psi].$$ Dies ist die Verallgemeinerung von (1) auf Körper in der adjungierten Darstellung. Die Definition des Feldstärketensors bleibt unverändert.