Magnetische Monopole messen Theorien

1) Universelle Deckgruppen sind Gruppen mit der Eigenschaft, einfach zusammenhängend zu sein. Jede Algebra hat eine eindeutige Überdeckungsgruppe. Die anderen Gruppen,$\{G\}$, die derselben Algebra zugeordnet sind, können auf folgende Weise aus der Überdeckungsgruppe erhalten werden

$$G=\frac{\tilde G}{Ker(\rho)},$$ Wo $Ker(\rho)$ist der Kern des Gruppenhomomorphismus $\rho:\tilde G\rightarrow G$. Sobald Sie eine bestimmte Darstellung definiert haben, können Sie diesen Kernel berechnen. Sie beginnen beispielsweise mit einem $\mathfrak{su}(2)$Algebra. Wenn Sie dann die adjungierte Darstellung wählen, können Sie das zeigen $Ker(\rho)=\mathbb Z_2$und die Gruppe wird sein $G=SU(2)/\mathbb Z_2=SO(3)$. Auf der anderen Seite, wenn Sie die definierende Darstellung wählen, erhalten Sie $Ker(\rho)=\mathbb 1$Und $G=SU(2)/\mathbb 1=SU(2)$.

2) Ein topologischer magnetischer Monopol muss die Quantisierungsbedingung erfüllen

$$e^{ieQ_m}=\mathbb 1,$$ Wo $Q_m$ist die (nicht-Abelsche) magnetische Ladung. Dies ist eine Verallgemeinerung der Dirac-Quantisierungsbedingung . Es kann gezeigt werden, dass zur Erfüllung dieser Bedingung die $U(1)$muss kompakt sein, da auch die elektrische Ladung quantisiert werden muss. Ich bin mir über das Ergebnis, das er behauptet, nicht ganz sicher: "ein Kompakt $G$mit kompakter Abdeckung $\tilde G$bedeutet hinein $U(1)$kompakt". Das Ergebnis, das ich kenne, ist, dass, wenn Sie eine spontane Symmetrie brechen $G\rightarrow K\times U(1)$, Die $U(1)$ist kompakt, wenn $G$Und $K$sind beide halbeinfach . Ansonsten $U(1)$kann nicht kompakt sein.

3) Magnetische Monopole sind nicht aus elektrischen Ladungen aufgebaut. Sie werden jedoch in spontan gebrochenen Eichtheorien erhalten, die im Allgemeinen elektrische Ladungen in ihrem Spektrum haben. Ich nehme an, er meinte nur, dass quantisierte elektrische Ladungen quantisierte magnetische Ladungen implizieren und umgekehrt.