Verletzt der magnetische Monopol die U(1)U(1)U(1)-Eichsymmetrie?

Nein, ein magnetischer Monopol à la Dirac-Saite "verletzt" die Eichsymmetrie nicht. Vielmehr bedeutet die Aussage „wir haben einen magnetischen Monopol“ nur, dass wir gezwungen sind, die Eichtheorie nicht auf die gesamte Raumzeit zu betrachten, sondern auf die Raumzeit mit entferntem Ort des magnetischen Monopols. Wieso den? Denn am Ort des magnetischen Monopols verschwindet die Divergenz des Magnetfelds nicht (es hat dort eine Quelle/Senke!), und daher die Gleichung, mit der wir das Eichfeld definieren können, nämlich$\mathrm{d}F = 0$, ist nicht erfüllt.

Es gilt jedoch überall sonst, und so betrachten wir die Eichtheorie im Raum mit einem entfernten Punkt. Aber$\mathbb{R}^3 - \{0\}$ist homotop äquivalent zur Kugel$S^2$, was topologisch nicht trivial ist - Sie können die Kugel oder nicht zusammenziehen$\mathbb{R}^3-\{0\}$reibungslos zu einem Punkt, weil der Monopol "im Weg" ist. Dies ist kein echter Defekt in der Raumzeit, sondern einfach eine Folge davon, dass wir die Eichbeschreibung „retten“, obwohl uns das Monopol global verbietet. Es ist ein Fehler in der Eichtheorie .

Die lokale Beschreibung auf der Kugel$S^2$wird am einfachsten erreicht, indem man einfach zwei lokale Eichfelder nimmt, die auf der Hemisphäre definiert sind und sich am Äquator überlappen, und wir erhalten eine global konsistente Lösung, indem wir eine Eichtransformation auf der Überlappung definieren, die die lokalen Lösungen zusammenklebt ¹ , was nur a ist Kreis -$\mathrm{U}(1)$wieder. Wir müssen also eine glatte Karte geben$\mathrm{U}(1)\to\mathrm{U}(1)$vom Kreis zu sich selbst. Solche Karten ergeben sich einfach durch Wickeln des Kreises$n$mal um sich rum, wenn du schreibst$\mathrm{U}(1) = \{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \vert \phi\in[0,2\pi)\}$, dann ist die Übergangsfunktion$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mapsto\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\phi}$. Diese Übergangsfunktion charakterisiert das Bündel vollständig, daher gibt es jetzt$\mathbb{Z}$unterschiedliche Bündelstrukturen, die auftreten können. Das$n\in\mathbb{Z}$charakterisiert den Monopol nur als Magnetladung$\frac{2\pi}{e}n$.

Nun ist der "Dirac-String" lediglich ein Artefakt, das auftritt, wenn wir versuchen, eine globale Lösung aus den lokalen herauszuzwingen. Wenn Sie die Lösung auf einer der Hemisphären nehmen und sie so weit wie möglich ausdehnen, stellen Sie fest, dass Sie sie überall hin ausdehnen können, außer zum gegenüberliegenden Pol. Wenn wir die Kugel "zurückverwandeln".$\mathbb{R}^3-\{0\}$, dann verwandelt sich der Pol (wie alle Punkte) in einen Strahl, der am Ort des Monopols beginnt. Auf diesem Strahl, der dem Pol entspricht, ist die Lösung nicht definiert - dies ist die berühmte Dirac-Saite. Aber denken Sie daran, dass wir eine andere lokale Lösung hatten - wenn wir sie erneut kleben (oder nach Bedarf zwischen ihnen wechseln), erhalten wir eine Beschreibung im Ganzen$\mathbb{R}^3 - \{0\}$, und der Dirac-String verschwindet. Die Quantisierung als$\frac{2\pi}{e}$denn die magnetische Ladung ergibt sich aus der Anforderung, dass dieses Artefakt in den lokalen Lösungen nicht nachweisbar sein muss und daher keine physikalischen Folgen haben darf, und nur für diese magnetischen Ladungen verschwindet der Aharonov-Bohm-Effekt eines solchen Strahls.

Das Kleben der lokalen Lösungen ist in der Tat eine Konstruktion des Hauptbündels, ohne dass wir ausdrücklich sagen, dass es als Konstruktion eines Bündels durch Cocycles bekannt ist . Wenn wir eine globale Lösung haben, brauchen wir kein Kleben und wir wählen$n = 0$, was dem trivialen Bündel entspricht, und keinen magnetischen Monopol, da die Lösung dann im Prinzip auf alle erweiterbar ist$\mathbb{R}^3$und wir haben einen ganzen Wirbel um nichts gemacht.

^{1 Das Kleben funktioniert technisch so - nehmen Sie die Klebeumwandlung$\chi : S^1 \to \mathrm{U}(1)$und die beiden lokalen Lösungen$A_1,A_2$und einstellen$A_2 = A_1 + \mathrm{d}\chi$. Oder besser gesagt, schauen Sie sich Ihre lokalen Lösungen an und finden Sie sie$\chi$damit das funktioniert.}