Was meinen wir, wenn wir sagen, dass die QM-Wellenfunktion ein Abschnitt des U(1)U(1)U(1)-Bündels ist?

Das$U(1)$ist nur die Eichsymmetrie des Elektromagnetismus. Für eine Wellenfunktion eines geladenen Teilchens ist die$U(1)$wirkt einfach durch Ändern der Phase der Wellenfunktion. Der "Abschnitt" bedeutet, dass wir eigentlich wollen, dass die Phase an jedem Punkt bestimmt wird. Aber weil es die gibt$U(1)$Symmetrie ist die Phase weitgehend willkürlich. Eine willkürliche ortsabhängige Änderung der Phase erzeugt jedoch nicht wirklich einen äquivalenten physikalischen Zustand, da die Änderungen in den Änderungen des Eichfeldes gespeichert werden – mathematisch ausgedrückt wird die Information in der „Verbindung am Faserbündel“ gespeichert. .

Bei Vorhandensein magnetischer Monopole das Vektorpotential$\vec A$kann nicht global definiert werden, weil$\vec B={\rm curl}\,\vec A$automatisch gehorcht${\rm div}\,\vec B=0$aber diese Gleichung wird in Gegenwart magnetischer Monopolladungen verletzt, weil${\rm div}\,\vec B=q_m\delta^{(3)}(\vec x)$. Es ist jedoch immer noch möglich, zu definieren$\vec A$fast überall um einen punktförmigen magnetischen Monopol herum, mit Ausnahme einer halb-unendlichen Saite (Linie), die am Ursprung (der Position des Monopols) beginnt, der sogenannten Dirac-Saite.

Dies entspricht dem Ersetzen des Monopols durch einen langen magnetischen Dipol, der den ursprünglichen Monopol mit dem Gegenpol verbindet, der ins Unendliche gesendet wird. Da der Gegenpol im Unendlichen liegt, wird er immateriell. Allerdings muss auch die lange Spule (Magnet), die die beiden Pole verbindet, unsichtbar sein. Eine notwendige Bedingung dafür ist, dass der Aharonov-Bohm-Effekt um dieses Solenoid herum keine nachweisbare Phasenverschiebung erzeugt, und dies entspricht im Wesentlichen der Dirac-Quantisierungsregel für die magnetische Ladung$q_m q_e\in 2\pi{\mathbb Z}$.

In mathematischer Terminologie ist die mögliche Transformation der Phase der Wellenfunktion, die durch die Reise um die Dirac-Saite induziert wird, der Grund, warum wir von "Bündeln" sprechen müssen: Es ist unmöglich, sie einzustellen$\vec A$überall gleich Null, also können wir, obwohl es nirgendwo im Raum (mit Ausnahme des Ursprungs) eine magnetische Quelle gibt, der Wellenfunktion im Großteil des Raums immer noch keine natürliche einzigartige Phase zuordnen.

In Einheiten der elementaren magnetischen Monopolladung,$q_m$– die Monopolzahl – kann entweder als Koeffizient von ausgedrückt werden$\delta^{(3)}(\vec X)$In${\rm div}\,\vec B$, oder – was nach dem Satz von Gauß dasselbe ist – als Oberflächenintegral$\int d\vec S\cdot \vec B$mit dem richtigen konventionsabhängigen Koeffizienten. Auch, weil die ganze "Nichttrivialität" des Bündels auf die Dirac-Zeichenfolge konzentriert werden kann, die einzige Stelle, wo$\vec A$nicht genau definiert ist, kann der magnetische Fluss auf das Integral über einen kleinen Querschnitt reduziert werden, der die Dirac-Saite schneidet, und daher$q_m$wird durch Monodromien um die Dirac-Saite ausgedrückt, die Ihnen sagt, wie stark das Faserbündel verdrillt ist.

All diese Dinge sind gleich. Um zu verstehen, warum sie gleich sind, ist es hilfreich zu erkennen, dass Physiker versuchen, das Faserbündel zu „trivialisieren“, und es ihnen fast gelingt, mit Ausnahme der Dirac-Saite, wo$\vec A$ist nicht gut definiert. Jedoch,$\vec B$ist überall außer dem Ursprung definiert. Alles über die Nichttrivialität des Bündels muss also in den eichinvarianten Funktionalen von kodiert werden$\vec A$, nämlich in Konturintegralen$\oint d\vec \ell\cdot \vec A$und Oberflächenintegrale von$\vec B$. Nach den üblichen trivialen Gauß-ähnlichen Theoremen geben sie die gleiche Zahl für die magnetische Monopolkonfiguration.

In Bezug auf die aktualisierte Auswahlliste von Fragen,

1. die Wellenfunktion ist ein Abschnitt eines komplexen Bündels mit Strukturgruppe$U(1)$das ist die Gauge-Gruppe
2. die Spurtransformationen spezifizieren die Übergangsfunktionen zwischen Patches; Die Patches sollten zu Bällen diffeomorph sein, aber in Wirklichkeit können wir den Hauptpatch so groß machen wie den gesamten Raum abzüglich der Dirac-Saite
3. das elektromagnetische Potential wird von den Mathematikern immer als Verbindung auf dem (Eichsymmetrie-)Bündel bezeichnet; die Unfähigkeit zu definieren$\vec A$global ist das Bündel nicht trivial
4. den Wert der Verbindung$\vec A$kann alles sein, was den Maxwell-Gleichungen gehorcht. In 3+1D sind magnetische Monopole die einzigen lokalisierten Quellen, die das Bündel nicht trivial machen können, sodass jedes allgemeine Potential eine Überlagerung des wohldefinierten ist$\vec A$und das$\vec A$aus einer Verteilung magnetischer Monopole.

Siehe auch zB

kann man magnetische Monopole ohne Dirac-Saiten einführen?