Beweis der Quantisierung der magnetischen Ladung von Monopolen unter Verwendung von Homotopiegruppen

Question

Beweis der Quantisierung der magnetischen Ladung von Monopolen unter Verwendung von Homotopiegruppen

Physik
Topologie
Eichtheorie
Dirac-Monopol
magnetische Monopole
mathematisch-physik

Maschine

Angenommen, wir platzieren einen Monopol am Ursprung $\{{\bf 0}\}$ , und das Eichfeld ist in der Region wohldefiniert $\mathbb R^3-\{0\}$ die homomorph zu einer Kugel ist $S^2$ .

Dann ist die Gesamtmannigfaltigkeit $U(1)$ Fasern an der Basis befestigt $S^2$ . Wir können fragen, wie viele Arten von "Phasentexturen" es auf einer Kugel gibt?

Dann verwende ich $\pi_2 (U(1)) = \pi_2(S^1)$ seit wir die Karte erstellt haben $S^2\mapsto U(1) \sim S^1$ .

Aber $\pi_2 (S^1) = 0$ nicht $\mathbb Z$ ! Wo habe ich mich geirrt? Laut dem berühmten Buch Topology and Geometry for Physicists sollte die richtige Formel lauten

π_{1} (S^{1}) = Z .

$\pi_1(S^1) = \mathbb Z.$ Warum

π_{1}

$\pi_1$ anstatt

π_{2}

$\pi_2$ ?

JoshPhysik

Meinten Sie

R^{3} - {0}

$\mathbb R^3-\{0\}$ ist homöomorph zu

S^{2}

$S^2$ ? Und wenn ja, beachten Sie, dass das erste Leerzeichen nicht kompakt ist (insbesondere keine begrenzte Teilmenge von

R^{3}

$\mathbb R^3$ ) während

S^{2}

$S^2$ ist kompakt, also ist diese Aussage allein nicht wahr.

twistor59

Vielleicht wäre "homotopisch äquivalent zu" angemessener.

Antworten (2)

Beweis der Quantisierung der magnetischen Ladung von Monopolen unter Verwendung von Homotopiegruppen

Meinten Sie $\mathbb R^3-\{0\}$ ist homöomorph zu $S^2$ ? Und wenn ja, beachten Sie, dass das erste Leerzeichen nicht kompakt ist (insbesondere keine begrenzte Teilmenge von $\mathbb R^3$ ) während $S^2$ ist kompakt, also ist diese Aussage allein nicht wahr.

twistor59 · Answer 1

Sie möchten angeben, wie viel "Verdrehung" in a enthalten ist $U(1)$ (dh effektiv $S^1$ ) bündeln $S^2$ . Wenn Sie abdecken $S^2$ mit einem Nord- und Südfleck, dann ist der Übergangsbereich topologisch $S^1$ Das Bündel wird also nach Karten klassifiziert $S^1$ Zu $U(1)$ , dh Sie wollen $\pi_1(U(1))=\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$

Ich verstehe. Gilt es für alle geschlossenen 2D-Flächen mit einer Krümmung ungleich Null? zB ein $T^2$ ? In diesem Fall lautet auch die TKNN-Invariante $\pi_1 (U(1)) = \mathbb Z$
$T^2$ bedeutet $S^1XS^1$ ? Wenn ja, dann ja, ich denke, in diesem Fall werden die Kreisbündel klassifiziert $H^2(M;\mathbb{Z})$ das sind wieder die ganzen Zahlen - die Euler-Klasse.
Es ist jedoch bekannt, dass TKNN-Invarianten die ersten "Chern" -Zahlen sind.

QMechaniker · Answer 2

Womit OP klassifiziert $\pi_2 (G)$ [wo die Gauge-Gruppe hier ist $G=U(1)$ ], ist die global $^1$ definierte Eichtransformationen $g: M\to G$ . Dies ist normalerweise nicht das, was wir berechnen möchten.

Bei der Diskussion des Dirac-Monopols sind die Physiker stattdessen daran interessiert, inäquivalente Konfigurationen der dynamischen Variablen der Theorie, dh des Eichpotentials, zu klassifizieren $A$ . Genauer gesagt betrachten wir im Wu-Yang/Bündelbild (das die Verwendung eines Dirac-Strings vermeidet ) das zugehörige Vektorbündel

T^{*} M \otimes G \to M,

$T^{*}M\otimes \mathfrak{g}~\to~ M,$ Wo

g = u (1)

$\mathfrak{g}=\mathfrak{u}(1)$ ist die zugehörige Lie-Algebra. Es versteht sich implizit, dass die Eichpotentiale

A_{α} : U_{α} \to g

$A_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathfrak{g}$ sind auf lokalen Karten definiert

U_{α} \subset M

$U_{\alpha}\subset M$ mit

\cup_{α} U_{α} = M

$\cup_{\alpha}U_{\alpha}=M$ . Darüber hinaus wird implizit davon ausgegangen, dass zwei lokale Abschnitte

A_{α} : U_{α} \to g

$A_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathfrak{g}$ Und

A_{β} : U_{β} \to g

$A_{\beta}: U_{\beta}\to \mathfrak{g}$ sind über lokale Pegeltransformationen verbunden

g_{α β} : U_{α} \cap U_{β} \to G

$g_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta} \to G$ in den Überlappungen

U_{α} \cap U_{β}

$U_{\alpha}\cap U_{\beta}$ .

Es stellt sich heraus, dass wir daher daran interessiert sind, Karten aus der äquatorialen Überlappungsregion zu zählen $S^1$ Zu $G$ , dh $\pi_1 (G)$ , wie twistor59 in seiner Antwort erklärt.

--

$^1$ Der zugrunde liegende Raumverteiler für den Dirac-Monopol ist $M=\mathbb{R}^3\backslash\{\bf 0\}$ , was homotopieäquivalent (aber nicht homöomorhisch) ist $S^2$ . Wir haben den Ursprung entfernt, da der Dirac-Monopol dort singulär ist. [Die 't Hooft-Polyakov-Monopole sind regelmäßig im gesamten Raum $\mathbb{R}^3$ , aber wir werden diese Monopole in dieser Antwort nicht diskutieren.]

Beweis der Quantisierung der magnetischen Ladung von Monopolen unter Verwendung von Homotopiegruppen

Maschine

JoshPhysik

twistor59

Antworten (2)

twistor59

Maschine

twistor59

Maschine

QMechaniker

Was ist die Windungszahl eines magnetischen Monopols und warum bleibt sie erhalten?

Spielen höhere Homotopiegruppen eine Rolle in der Eichtheorie?

Was sind die Definition und Beispiele für topologische Anregung?

Was meinen wir, wenn wir sagen, dass die QM-Wellenfunktion ein Abschnitt des U(1)U(1)U(1)-Bündels ist?

Links-rechts-Topologie

7 Sphäre, gibt es eine physikalische Interpretation exotischer Sphären?

Wann ist ein Wess-Zumino-Begriff wohldefiniert?

Vektorpotential für Magnetfelder, wenn sich das Feld nicht in einer einfach verbundenen Region befindet

Warum mögen wir Eichpotentiale so sehr?

Erste Chern-Zahl, Monopole und Quanten-Hall-Zustände