7 Sphäre, gibt es eine physikalische Interpretation exotischer Sphären?

Im Grunde ist eine exotische Kugel topologisch gesehen eine Kugel, sieht aber nicht wie eine Eins aus. Oder genauer:

homöomorph, aber nicht diffeomorph zur standardmäßigen euklidischen n-Sphäre

Die ersten exotischen Sphären wurden von John Milnor (1956) in der Dimension n = 7 als S3-Bündel über S4 konstruiert.

Es sieht aus wie ein SU(2)-Anzeigefeld auf S4? Aber ich weiß nicht mehr darüber? Ich schätze, hier steckt viel Fachwissen drin. Können Sie eine physikalische Interpretation dieser 7 Sphäre geben? Nur um es intuitiver zu machen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere

Vielen Dank!

Antworten (1)

Ich habe mich vor einiger Zeit selbst darüber gewundert. Ich bin nicht absolut positiv, aber es ist definitiv im Stadion.

Zum Hintergrund weiß ich folgendes:

  • Ich glaube, die erste Arbeit über exotische Sphären in der Physik stammt von Witten [Commun. Mathematik. Phys., 100, 197–229 (1985)] und konzentrierte sich auf die Idee, dass exotische Sphären als gravitative Instantons interpretiert werden können. Sie können das Papier hier herunterladen .

  • Randy Baadhio verbrachte Anfang der 90er Jahre einige Zeit mit dieser Idee und der physikalischen Interpretation exotischer Sphären als Instantons. Ich glaube, dieses Papier war das erste, das er zu diesem Thema geschrieben hat.

  • Baez hat in Woche 141 auch einen ziemlich guten Rundgang durch exotische Sphären gemacht und liefert schließlich ein bisschen körperliche Motivation in einem Stringtheorie-Kontext darüber, wie sie auftauchen.

Hier ist mehr oder weniger die Interpretation: (Und denken Sie daran, dass Witten die grundlegende physikalische Interpretation gibt, nach der Sie im zweiten Absatz der Zusammenfassung zu seinem Artikel fragen.)

Wenn Sie in Ihrer Theorie mit Gravitationsanomalien festsitzen (wahrscheinlich verursacht durch ein Ein-Schleifen-Diagramm irgendwo darin), führen diese globalen Gravitationsanomalien zu Einschränkungen der Fermion-Null-Modi eines Instantonfelds, und diese Instantonen können mit exotischen Sphären in Verbindung gebracht werden .

Hoffentlich kann jemand anderes einspringen und diese Erklärung für mich verschärfen.

Ich denke, im Allgemeinen bin ich neugierig auf den Unterschied zwischen Topologie und Differentialtopologie. Ich denke, in den meisten Fällen (aus irgendeinem tiefen topologischen Grund) können wir kontinuierlichen Dingen eine glatte Struktur zuweisen. Es scheinen jedoch einige exotische Beispiele aufzutauchen, zu denen wir nicht in der Lage sind, zum Beispiel diese exotische Sphäre. Ein anderes Beispiel, das mir kürzlich in den Sinn kommt, ist das Thema der Kobordismustheorie als verallgemeinerte (Ko-)Homologietheorie. Ich bin gespannt, ob es einige einfache physikalische Modelle gibt, die den Unterschied deutlich zeigen können.
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