Warum mögen wir Eichpotentiale so sehr?

1) Um die Frage der magnetischen Monopole für einen Moment aufzuschieben, ist eine herkömmliche Antwort, dass das Eichpotential$A_{\mu}$(im Gegensatz zu z. B. dem elektrischen und magnetischen$\vec{E}$und$\vec{B}$Felder) bilden die wahren fundamentalen Variablen und (das Photonenfeld) von QED .

Auf der klassischen Ebene, indem man das sagt$A_{\mu}$fundamentale Variablen sind, meinen wir damit die Maxwell-Aktion $S[A]$kommt drauf an$A_{\mu}$, und dass die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen die verbleibenden Maxwell-Gleichungen sind , nämlich die Gesetze von Gauß und (modifiziert) Ampere. (Die veralteten Maxwell-Gleichungen sind Bianchi-Identitäten, die durch die Existenz des Eichpotentials leer werden$A_{\mu}$.)

Quantenmechanisch scheint es angebracht, den Aharonov-Bohm-Effekt zu erwähnen , der darauf hinzudeuten scheint, dass die$A_{\mu}$Eichfeld hat physikalische Konsequenzen, die nicht bereits in der Eichinvariante kodiert sind$\vec{E}$und$\vec{B}$Felder. (Schauen Sie sich jedoch diesen und diesen Phys.SE-Beitrag an.)

2) Bisher haben wir noch nicht über magnetische Monopole und Dirac-Strings gesprochen .

Bei einem magnetischen Dirac-Monopol, dem$A_{\mu}$Eichpotential ist nicht wohldefiniert. Dies ist das Hauptthema von zB this und this questions.

Dirac-Magnetmonopole werden normalerweise abgetan, aber es gibt andere Arten von Magnetmonopolen, nämlich den (verallgemeinerten) 't Hooft-Polyakov-Magnetmonopol . Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Obwohl (verallgemeinerte) magnetische 't Hooft-Polyakov-Monopole bisher noch nicht experimentell nachgewiesen wurden, gibt es verschiedene theoretische Gründe zu der Annahme, dass sie existieren, siehe zB this , this , und this questions.

Es sind die Eichpotentiale, nicht die Felder, die die Quantenbewegung von Teilchen bestimmen. Sowohl in der Schrödinger-Gleichung als auch im Pfadintegral erscheint das Eichfeld, nicht das E und B, und für nichtabelsche Theorien ist dies unmöglich zu beheben, da Sie keine integrale Stokes-Gesetz-Beziehung haben.

Die Wechselwirkung mit geladenen Teilchen besteht darin, dass ein Teilchen, das sich entlang eines Pfades bewegt, eine Phase erhält, die gleich dem Integral von A entlang des Pfades ist. Wenn Sie A durch B ersetzen möchten, müssen Sie die Tatsache nutzen, dass das Integral von A entlang einer geschlossenen Schleife der von der Schleife eingeschlossene magnetische Fluss ist, und dies eine nicht lokale Bedingung ist. Sie können also keine lokalen Bewegungsgleichungen für ein Quantenteilchen mit E und B schreiben.

Die integrale Beziehung für B besagt, dass, wenn Sie einen Kreis zeichnen und die Phase wollen, die das geladene Teilchen bekommt, wenn es sich auf diesem Kreis bewegt, Sie eine Oberfläche zeichnen, deren Grenze der Kreis ist, und der magnetische Fluss durch diese Oberfläche ist Phase.

Die Dirac-Bedingung ist einfach die Aussage, dass, wenn Sie einen Monopol haben und einen Kreis um den Monopol ziehen, der Fluss durch die nördliche Hemisphäre gleich dem Fluss durch die südliche Hemisphäre ist, bis zu einem Vielfachen von 2pi, was eine nicht nachweisbare Phasenänderung darstellt . Dies sagt Ihnen, dass die magnetische Ladung multipliziert mit der elektrischen Ladung ein ganzzahliges Vielfaches davon sein muss$2\pi$.