Was war Diracs Motivation, hypothetische magnetische Monopole zu untersuchen?

Curies früher Beitrag

Dass magnetische Monopole eine Möglichkeit sind, wurde erstmals von Pierre Currie in seinem Aufsatz mit dem Titel „ On the possible exist of Magnetic Conductivity and Free Magnetism “ herausgestellt , in dem das Konzept eines Monopols beschrieben wurde. Er stellt im Eröffnungssatz fest,

Le parrallélisme des phénomènes électriques et magnétiques nous améne naturellement á nous demander si cette analogie est plus compléte.

Das heißt - auf Englisch - die Parallelität, die zwischen elektrischen und magnetischen Phänomenen besteht, führt uns zu der Überlegung, ob sie verstärkt werden kann, dh zu einer modifizierten Form des Gaußschen Gesetzes für das Magnetfeld, da die Maxwell-Gleichungen ansonsten übereinstimmen$\vec E$Und$\vec B$schön zusammen.

Diracs Quantisierungsbedingung & Solitonen

Diracs Artikel untersucht die Folgen von Monopolen und insbesondere, dass sie eine Quantisierung der elektrischen Ladung implizieren. Dies kann insbesondere gezeigt werden, indem man eine Theorie mit einem Lagrange-Operator der Form betrachtet,

$$\mathcal L = \frac{1}{2e^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{e^2} \left( \mathcal D_\mu \phi\right)^2$$

mit Skalarfeld$\phi^a_b$Transformation in die adjungierte Darstellung von$SU(N)$. Wir können einstellen$\langle \phi \rangle = \vec \phi \cdot \vec H$Wo$\vec H$ist eine Grundlage für die Subalgebra von$\mathfrak{su}(N)$. Ohne auf zu viele Details einzugehen, gibt es eine Bedingung, um die Eichsymmetrie auf den maximalen Torus zu brechen,$U(1)^{N-1}$.

Ich habe diesen Formalismus verwendet, um zu zeigen, dass Monopole als Solitonen angesehen werden können, die für Physiker seit langem von Interesse sind. Sie werden von den oben genannten vev unterstützt und sind von der Form$\langle \phi \rangle = \langle \phi (\theta,\varphi)\rangle$mit$\theta,\varphi$Koordinaten auf der Grenze$S^2_\infty$. Es stellt sich heraus, dass das Magnetfeld von der Form ist,

$$B_i = \vec g \cdot \vec H(\theta,\varphi) \frac{\hat r_i}{4\pi r^2}.$$

Wenn wir das vev so fixieren, dass es bei unendlich konstant ist, können wir schreiben:

$$B_i = \mathrm{diag}(g_1,\dots,g_N)\frac{\hat r_i}{4\pi r^2}$$

unter der Vorraussetzung$\sum g_a = 0$da das Feld in liegt$\mathfrak{su}(N)$. Um zur Quantisierungsbedingung zu gelangen, kann man das entsprechende 4-Potential finden, und für Eichtransformationen, die einwertig sind, haben wir das,

$$\exp (i\vec g \cdot \vec H) = 1$$

die nur für zufrieden ist$g_a \in 2\pi \mathbb Z$in Einheiten wo$e= 1$, äquivalent zur Dirac-Quantisierungsbedingung. Der ganze Sinn von Diracs Aufsatz besteht darin, die Implikationen der Existenz von Monopolen aufzuzeigen, und er baut auf einem Konzept auf, das bereits von Curie beschrieben wurde.

Darüber hinaus können Monopole, wie diese Darstellung gezeigt hat, als Solitonen angesehen werden, und diese waren für John Scott Russell vor Diracs Veröffentlichungen über Monopole von Interesse.

Diracs Argument ist eine rein theoretische Solange-Gleichung$(1)$Ihre Frage basiert auf Experimenten: Sie verbietet nicht die Existenz eines magnetischen Monopols. es sagt nur, dass es (noch) nicht beobachtet wird.

Daher ist es klar, dass Diracs Motivation darin bestand, theoretisch zu zeigen, dass es eine lohnende Anstrengung ist, nach magnetischen Monopolen zu suchen, die, wenn sie gefunden werden, sowohl die quantisierte Natur der elektrischen Ladung erklären als auch die Maxwell-Gleichungen vollständig symmetrisch machen können.