Warum wird Dirac nicht die Entdeckung des Aharonov-Bohm-Effekts zugeschrieben?

Diracs Entdeckung der Quantisierung der magnetischen Ladung unterscheidet sich vom Aharonov-Bohm-Effekt. Diese Effekte hängen von verschiedenen topologischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit ab, auf der sich ein geladenes Teilchen bewegt. Der Aharonov-Bohm-Effekt tritt auf Mannigfaltigkeiten mit einer nicht verschwindenden ersten Kohomologiegruppe auf$H^1(M)$, während die Dirac-Quantisierungsbedingung bei der zweiten Kohomologiegruppe eintritt$H^2(M)$ist nicht trivial. Siehe zum Beispiel Abschnitt 4 (Seiten 15-19) der Vorlesungsunterlagen von VP Nair.

Tatsächlich bilden diese beiden Effekte zusammen alle möglichen Quantisierungstypen eines geladenen Teilchens, das sich auf einer Mannigfaltigkeit bewegt.

Es ist wahr (in beiden Fällen), dass, wenn sich ein geladenes Teilchen auf einer Flugbahn bewegt$\Gamma$auf dem Krümmer$M$, seine Wellenfunktion erwirbt eine geometrische Phase von

$$e^{\frac{ie}{\hbar c} \int_{\Gamma}\mathbf{A}. d\mathbf{r}}$$

Die Folgen sind jedoch unterschiedlich. Im ersten Fall (Aharonov-Bohm) ist das Vektorpotential proportional zu einer geschlossenen, aber nicht exakten Einsform$\alpha$auf dem Krümmer.

$$A = \frac{\Phi}{2\pi} \alpha$$

Dies ist das berühmte Vektorpotential des Aharonov-Bohm-Effekts, dessen entsprechendes Magnetfeld verschwindet ($\Phi$ist der magnetische Fluss).

$$B = dA = \frac{\Phi}{2\pi} d\alpha = 0$$

Wenn sich das Teilchen in Homologie auf einer Schleife bewegt, die dual zu dieser Form ist, dh einer nicht kontrahierbaren Schleife, hängt das Ergebnis (nach dem Stokes-Theorm) nicht davon ab, welche Schleife wir als Repräsentanten nehmen:

$$\int_{\Gamma_1}\mathbf{A}. d\mathbf{r} - \int_{\Gamma_2}\mathbf{A}. d\mathbf{r} = \int_S \mathbf{B}.d\mathbf{S} = 0$$

Wo$S$ist das umschlossene Gebiet$\Gamma_1$Und$\Gamma_2$.

Darüber hinaus in dem speziellen Fall wo$M=S^1$(der Kreis), in dem

$$\alpha = d\theta$$ ,

(Der Winkel entlang des Umfangs).

In diesem Fall ist die erworbene Phase:

$$\frac{e \Phi}{\hbar c}$$

Das bedeutet, dass sich zwei Flüsse dadurch unterscheiden$\frac{2 \pi\hbar c}{e}$physikalisch gleichwertig sind.

Im zweiten Fall, wenn:$H^2(M)$ist nicht trivial, eine geschlossene Trajektorie zu wählen, die auf einer nicht kontrahierbaren zweidimensionalen Oberfläche liegt$\Omega$, ermöglicht es uns, den Fluss durch die beiden Hälften der Oberfläche zu berechnen$\Omega_{\pm}$dessen Grenzen die geschlossene Trajektorie ist:

$$\Phi_{\pm} = \int_{\Gamma} A_{\pm} = \pm \int_{\Omega_{\pm}} B$$ .

Somit ist die Phasendifferenz, die durch die Wellenfunktion erfasst wird, wenn unter Verwendung der Koordinaten der oberen Hälfte und der unteren Hälfte gearbeitet wird

$$\frac{e}{\hbar c}(\int_{\Omega_{+}}B + \int_{\Omega_{-}} B) = \frac{e}{\hbar c} \int_{\Omega} B$$

Bei einem Monopol

$$\int_{\Omega} B = 4 \pi g$$

(Die magnetische Ladung).

Die Phasendifferenz sollte ein ganzzahliges Vielfaches von sein$2 \pi$da es physikalisch gleichbedeutend ist mit der Arbeit an der unteren oder oberen Hälfte. Damit erhalten wir die Quantisierungsbedingung von Dirac:

$$\frac{eg}{\hbar c} = \frac{n}{2}$$

Bitte beachten Sie auch, dass im vorliegenden Fall die geometrische Phase nicht topologisch ist, da das Magnetfeld nicht verschwindet.