Für einen nicht kompakten Raum kann die Dirac-Saite als eine Linie definiert werden, die den Dirac-Monopol mit unendlich verbindet (oder einen anderen Dirac-Monopol). Der Bereich, in dem die Messgerätverbindung schlecht definiert ist. (wie in der Rezension von Goddard und Olive zu sehen ist )
Aber für einen (periodischen) kompakten Raum, wie könnte ich die Dirac-Zeichenfolge auf diesem Raum definieren , da es keine „Unendlichkeit“ gibt?
In einem kompakten orientierbaren Raum muss die gesamte magnetische Ladung (oder elektrische Änderung für diese Angelegenheit) nach dem Gaußschen Gesetz Null sein. Alle Magnetfeldlinien, die die Monopole verlassen, müssen irgendwohin gehen, damit sie sich auf gleich vielen Anti-Monopolen sammeln. Der Beweis der Aussage ist einfach: Sie nehmen eine kleine Kugel ohne magnetische Ladung im Inneren und betrachten sie als Grenze dessen, was Sie lokal die äußere Region nennen würden. Die Gesamtladung auf der Außenseite muss ebenfalls Null sein. Wenn die magnetische Nettoladung null ist, kann die Dirac-Saite konsequent so gewählt werden, dass sie auf magnetischer Ladung endet.
Wenn der Raum nicht orientierbar ist, gilt das Argument für seine doppelte Abdeckung, so dass die Dirac-Schnur zwischen Monopolen und ihrem komplementären Bild gehen kann. Ein nicht orientierbarer Raum selbst muss von mehreren überlappenden Diagrammen abgedeckt werden, und im Fall eines nicht orientierbaren Raums können Sie den Dirac-String auf einem Diagramm anzeigen und nicht auf einem anderen.
Um zu sehen, dass die Fälle, von denen ich spreche, nicht leer sind, betrachten Sie eine Klein-Flasche, die einen Kreis kreuzt (ein periodisches Kästchen in x, y, z der Einheitsgröße, wobei die x-Koordinate über die Periode hinweg im entgegengesetzten Sinne identifiziert wird). Die doppelte Abdeckung ist der Torus. Platzieren Sie dann eine einzelne magnetische Ladung in der Mitte der Klein-Flasche. Das Magnetfeld ändert sein Vorzeichen bei einer Spiegelung einer Koordinate senkrecht zum Feld und behält sein Vorzeichen bei einer Spiegelung der Koordinate parallel zur Feldrichtung (dieses seltsame Verhalten wird offensichtlich, wenn man das Magnetfeld als einen antisymmetrischen 2-Index-Tensor betrachtet ). Das Magnetfeld eines Monopols in der Klein-Flasche kreuzt einen Kreis also ist konsistent – es ist das gleiche wie das Magnetfeld eines Monopols und eines Anti-Monopols in der Torus-Doppelabdeckung.
In dieser Situation geht die Dirac-Saite vom Monopol zum Antimonopol im Torus, aber in der Klein-Flaschenbeschreibung muss sie Koordinatenfleck für Koordinatenfleck beschrieben werden.
anna v
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Leandro Seixas
Ron Maimon