Sicherstellen des Lorenz-Gauge-Zustands in der Green-Function-Lösung

Question

Sicherstellen des Lorenz-Gauge-Zustands in der Green-Function-Lösung

Messgerät
Physik
Potenzial
Eichtheorie
Maxwell-Gleichungen
Klassische Elektrodynamik

CDCM

Im Lorenz-Gauge können wir die Maxwell-Gleichungen schreiben als:

\begin{matrix} (1) & ◻ A^{β} = μ_{0} J^{β} . \end{matrix}

$\tag1 \Box A^\beta=\mu_0j^\beta.$

Wir lösen dies dann, indem wir jede Komponente behandeln $A^\beta$ als unabhängige Lösung der Skalarwellengleichung mit Quellen- und Summierungs-Green-Funktionen. Das ist:

\begin{matrix} (2) & A^{β} = μ_{0} \int \frac{1}{4 π | R - R^{'} |} J^{β} (C T - | R - R^{'} |, R^{'}) D^{3} R^{'} . \end{matrix}

$\tag2 A^\beta=\mu_0\int \frac{1}{4\pi |r-r'|}j^\beta(ct-|r-r'|, r')\ \mathrm d^{3}r'.$

Meine Frage ist, wie haben wir sichergestellt, dass die Lorenz-Eichbedingung noch erfüllt ist?

Sicher zu schreiben $(1)$ , wir brauchten $\partial_\mu A^\mu = 0$ , aber wie haben wir unsere Lösung sichergestellt $(2)$ erfüllt diese Bedingung?

AccidentalFourierTransform

Hinweis: Was ist

\partial_{μ} j^{μ}

$\partial_\mu j^\mu$ ? [Außerdem ist es einfacher, wenn Sie schreiben

(2)

$(2)$ bezüglich

d t^{'} d^{3} r^{'}

$\mathrm dt'\mathrm d^3r'$ ]

AccidentalFourierTransform

Ich dachte, Sie hätten immer noch Probleme, also habe ich beschlossen, einen detaillierteren Hinweis zu posten. Freut mich aber, dass du es alleine lösen konntest :-)

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Sicherstellen des Lorenz-Gauge-Zustands in der Green-Function-Lösung

Hinweis: Was ist $\partial_\mu j^\mu$ ? [Außerdem ist es einfacher, wenn Sie schreiben $(2)$ bezüglich $\mathrm dt'\mathrm d^3r'$ ]
Ich dachte, Sie hätten immer noch Probleme, also habe ich beschlossen, einen detaillierteren Hinweis zu posten. Freut mich aber, dass du es alleine lösen konntest :-)

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Skizze der Argumentation:

Schreiben Sie Ihre Gleichung in das Formular
$A^{μ} (X) = \int_{R^{4}} G (X - X^{'}) J^{μ} (X^{'}) D X^{'}$ $A^\mu(x)=\int_{\mathbb R^4} G(x-x')j^\mu(x')\ \mathrm dx'$ Wo $G$ ist einer der Propagatoren der Wellengleichung. Zum Beispiel, $G_\mathrm{ret}(x)\propto\delta(x^2)\Theta(x^0)$ die nach der Integration über $\mathrm dx^0$ , führt zu Ihrer zweiten Formel.
Zeige, dass
$\partial_{μ} A^{μ} (X) = \int_{R^{4}} G (X - X^{'}) \partial_{μ}^{'} J^{μ} (X^{'}) D X^{'}$ $\partial_\mu A^\mu(x)=\int_{\mathbb R^4} G(x-x')\partial'_\mu j^\mu(x')\,\mathrm dx'$ wo wir die Tatsache verwenden, dass $G$ kommt nur auf den unterschied an $x-x'$ , und wir haben Teile integriert. Hier sollte man argumentieren, dass Randterme wegen der Kinematik von verschwinden $G$ .
Beweisen Sie durch Stromerhaltung , dass die Lorenz-Eichbedingung gilt. Zu beachten ist, dass unabhängig von der gewählten Spurweite
$\partial_{μ} F^{μ v} = J^{v}$ $\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$ und daher aufgrund der Schiefsymmetrie von $F$ , muss der Strom erhalten bleiben, als eine Konsistenzbedingung, damit die obige PDE gut aufgestellt ist.

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CDCM

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