Warum verwenden wir Messgeräte in der Maxwell-Gleichung?

Erstens bedeutet die Eichinvarianz, dass die Lösungen$A_\mu(x^\alpha)$sind nicht einzigartig. Für jede Lösung sind auch die Eichtransformationen davon Lösungen. Das kann ein Problem sein, weil wir manchmal bestimmte Werte von haben wollen$A_\mu(x^\alpha)$die eine physikalische Frage beantworten.

Zweitens messen wir manchmal fix, weil sich die Gleichungen vereinfachen. Wenn wir zum Beispiel über Strahlung (und Antennen) diskutieren, kann sogar im klassischen Elektromagnetismus die Fixierung der Messgeräte die Maxwell-Gleichungen bequem in die Form bringen$\square A^\mu = j^\mu$die wie andere Gleichungen mit dem Box-Operator gelöst werden können.

Drittens bedeutet Eichinvarianz in der Quantenfeldtheorie vor allem, dass einige Polarisationen von$A_\mu$Partikelzustände mit Nullnorm erzeugen. Diese bedeuten, dass der Differentialoperator eine Matrix ist$M_{\mu\nu}$Einwirken auf$A_\lambda$ist nicht invertierbar usw. Das Festlegen von Messgeräten gibt solchen Zuständen eine Nicht-Null-Norm, macht die Matrizen invertierbar usw., aber wir müssen immer noch daran denken, uns am Ende mit den unphysikalischen (zeitartigen und longitudinalen) Polarisationen des Photons zu befassen. Es ist wahrscheinlich keine gute Idee, zu versuchen, diese Dinge außerhalb des Kontexts der Quantisierung des elektromagnetischen Felds zu erklären. Man lernt diese Dinge gleichzeitig mit anderen Themen der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes. Man muss nicht alle Situationen im Voraus wissen – und kann es im Allgemeinen auch nicht wissen –, in denen ein Verfahren wie die Lehrenfixierung hilfreich sein kann. Aber die obige Liste reicht aus, um zu verstehen, dass sie manchmal hilfreich ist .

Das Problem ist, dass sie zu viele Lösungen haben, wenn das Messgerät nicht fixiert ist.

Stellen Sie sich vor, Sie haben einige Anfangswerte und möchten diese am Computer lösen. Dann müssen Sie die Gleichungen für den nächsten Zeitschritt mit den Werten für den vorherigen lösen. Aber Sie müssen die Werte für beispielsweise vier Variablen berechnen, haben aber nur drei Gleichungen. Irgendwie muss man dem Computer sagen, was er tun soll, was er unter den vielen Lösungen wählen soll, die die Gleichungen zulassen. Sie wählen eine Eichbedingung und erhalten Gleichungen, die nur eine einzige Lösung haben, die Sie berechnen können.

Sobald Sie eine Lösung berechnet haben, können Sie später viele andere berechnen, die Ihre Eichbedingung nicht erfüllen. Wählen Sie eine völlig beliebige Eichtransformation und wenden Sie sie an, das ist alles. Das Ergebnis ist eine weitere Lösung der ursprünglichen Gleichungen ohne Eichbedingung. (Aber es hätte keinen Sinn, dies wirklich zu tun, dies dient lediglich dem Verständnis des Punktes).

Wenn wir über klassische Physik sprechen, dann werden Maxwell-Gleichungen geschrieben, um das herauszufinden$F(\mu,\nu)$Feld ab$J(\mu)$- Strom. Lösen Sie es, wenn Sie können, und denken Sie nicht an das Messgerät. Die einzige Situation, in der Sie Potenzial nutzen müssen$A(\mu)$ist keine triviale Topologie (Ihre Raumzeit ist es nicht$R(4)$, hat aber singuläre Bereiche). Maxwell-Gleichungen sind:

1. $dF=J$

2. $dF=0$

mit Einschränkung$dJ=0$

$A$kann aus Gleichung gefunden werden:$dA=F$. Es hat unendlich viele Lösungen.