Stoppstrom und Einhaltung der Maxwell-Gleichung

Präambel: Mathematisch ist die Divergenz eines Wirbelfeldes Null, also für das Magnetfeld

∇ ⋅ ∇ × B = 0
und von der ∇ × B Maxwell-Gleichung
∇ ⋅ ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) = 0   .
Das Integral des Obigen über ein beliebiges Volumen ist 0 . So ist ein geschlossenes Oberflächenintegral (Gauss-Integrationssatz) des Arguments der Divergenz, dh ∀ A
∮ A ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S = 0

Mein Gedankenexperiment: Als geschlossene Fläche wähle ich eine Kugel A am Ursprung zentriert. Ich teile die Kugel in einen linken Teil L und rechter Teil R , beide offenen Flächen mit A = L ∪ R . Oberflächen L Und R die gleiche Orientierung haben, so dass

∫ L ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S = ∫ R ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S
Folgt aus
∮ L ∪ R ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S = 0   .
Jetzt nehme ich alle Strom J fließt in die Sphäre kommt aus dem L -Seite und stoppt dann innen (in einem symmetrischen Muster um den Ursprung herum), was zu einer Ladungsakkumulation und einem Wert ungleich Null führt ∂ E / ∂ T .

Mein Problem: Aufgrund des oben Gesagten ∂ E / ∂ T muss radialsymmetrisch sein und so

∫ L ∂ E ∂ T ⋅ D S = ∫ R ∂ E ∂ T ⋅ D S

EDIT
Mit meiner Erklärung von L Und R Orientierung, das sollte sein

∫ L ∂ E ∂ T ⋅ D S = − ∫ R ∂ E ∂ T ⋅ D S
Das war mein Fehler und macht im Nachhinein den Rest der Frage ungültig!

/BEARBEITEN

gleich sind und was übrig bleibt, um die frühere Flussgleichung zu erfüllen, ist

∫ L J ⋅ D S = ∫ R J ⋅ D S   .
Aber eindeutig haben wir
∫ L J ⋅ D S ≠ 0 ∫ R J ⋅ D S = 0   .

Also, wo ist mein Fehler? Was ist das fehlende Stück, um die Gleichungen zu retten? Ist dies eine naive Überlegung und ich muss den vollständigen Satz von Maxwell-Gleichungen verwenden und eine EM-Welle berücksichtigen, die durch Verzögerung der Ladung emittiert wird und somit andere Quellen von ergibt ∂ E / ∂ T ? Oder die Ursache des Stoppstroms in Form eines elektrischen Felds einbeziehen?

Wenn J fließt, dann glaube ich ∫ R J → ⋅ D S → ≠ 0 . Wenn sich die Ladung ansammelt, muss sie irgendwie auf die richtige Seite gelangen.
Warum tut ∂ E → ∂ T müssen radialsymmetrisch sein?
@QuantimBrick Wenn ich annehme, dass der gesamte Strom im Inneren aufhört, gibt es keinen Fluss durch die rechte Seite.
@GDumphart Ja, das gibt es. Wenn das Material Strom ansammelt (und das tut es, da Sie Strom von der linken Seite injizieren), muss es aufgrund der Tatsache, dass diese Ansammlung symmetrisch ist, auch zur rechten Seite fließen.
@BySymmetry Ich forderte, dass die Ladungen symmetrisch um und in der Nähe des Ursprungs anhalten. Oder theoretisch genau am Ursprung, wenn Sie es vorziehen.
@QuantumBrick Wenn ich dich richtig verstehe, dann gehst du von der stetigen Stromannahme aus ∇ ⋅ J = 0 aus der Magnetostatik. Dort wäre der Stromdichtefluss durch alle offenen Flächen mit gemeinsamer Grenze gleich, wie Sie sagen. Für den Fall der Elektrodynamik ∇ ⋅ J = − ∂ ρ / ∂ T , diese Annahme ist falsch und Maxwells Verdrängungsstrom schließt sich der Partei an, und meine Frage stammt aus diesem Bereich.
Das habe ich wohl nicht gesagt. Aber ich glaube die Frage ist beantwortet.
@QuantumBrick Ja, aber auf der einen Seite fließt Strom und auf der anderen nicht, daher ist die Situation immer noch nicht symmetrisch.

Antworten (1)

Durch Ihre Partition A = L ∪ R , wir haben das

∮ A ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S = 0 ⟹ ∫ L ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S + ∫ R ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S = 0 ⟹ ∫ L ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S = − ∫ R ( J + ε 0 ∂ E ∂ T ) ⋅ D S
Die Flüsse sind also nicht gleich, sie sind entgegengesetzt . Auch wenn
∫ L ∂ E ∂ T D S = ∫ R ∂ E ∂ T ⋅ D S
gilt, hat dies keinen Widerspruch zu
∫ L J ⋅ D S ≠ ∫ R J ⋅ D S
Wir haben nur das
∫ L J ⋅ D S + ∫ L ε 0 ∂ E ∂ T D S = − ∫ R ∂ E ∂ T ⋅ D S ⟹ ∫ L J ⋅ D S = − ∫ A ε 0 ∂ E ∂ T D S

Sie haben meine Erklärung übersprungen oder falsch verstanden L Und R Orientierung, wenn sie nicht verbunden sind (keine Sorge, ohne Skizze ist es schwierig). Ich habe dieses Schema von hier übernommen: users.ox.ac.uk/~math0391/EMlectures.pdf – ganz am Anfang von Kapitel 3, Gleichung (3.2). Aber Sie haben völlig Recht, dass ich ein dummes Zeichen buh buh mache, das mein Problem löst. Vielen Dank für Ihre Antwort!
Ich stellte mir vor, dass dies der Fall sein könnte, aber ich dachte, dass hier eine größere Fehlerwahrscheinlichkeit besteht als in der radialsymmetrischen Aussage, dass die linken und rechten Flüsse gleich sind.
Zu Recht habe ich meine unnötige Annahme nicht genug betont.
Stoppstrom und Einhaltung der Maxwell-Gleichung
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