Lösen der Maxwell-Gleichung: Wie gibt es keine kostenlose Ladung, aber immer noch kostenlosen Strom?

Freier Strom wird zwar durch freie Ladungen erzeugt, aber eine Ladungsdichte von null entspricht nicht dem Fehlen freier Ladungen.

Immer wenn Sie identische positive und negative freie Ladungsdichten haben, ist die freie Ladungsdichte Null. Positive und negative freie Ladungen können sich unabhängig voneinander so bewegen, dass die Gesamtladungsdichte überall Null ist (denken Sie an eine Drahtschleife, in der sich Elektronen mit konstanter Driftgeschwindigkeit bewegen). Wenn sie dies tun, erzeugen sie einen freien Strom, selbst wenn die freie Ladungsdichte Null ist.

Ich habe einige Zeit über Ihre Frage nachgedacht und bin ziemlich zuversichtlich, dass ich eine Lösung für das Rätsel gefunden habe. Beachten Sie, dass ich wie Sie ein "neuer Student" bin, also warne ich Sie, das Folgende mit Vorsicht zu genießen. Ich hoffe, dass ein erfahrenerer Benutzer die folgenden Argumente schließlich (un)validieren kann.

Lassen Sie uns das Problem zuerst von einem physikalischen Standpunkt aus behandeln. Ich denke, Sie interessieren sich mehr für die Mathematik, aber vielleicht kann ein wenig körperliche Intuition helfen, die Voraussetzungen für den letzten Teil zu schaffen.

Es ist ziemlich klar, warum Sie tatsächlich eine Stromdichte ohne Ladungsdichte haben können: Wenn erstere eine makroskopische Dichte ist, dann der Wert von$\rho$an einem Punkt ist die Gesamtladung in einem kleinen Volumen um diesen Punkt herum enthalten, einem Volumen, das nicht größer ist als die Auflösung der beteiligten Messgeräte, das aber immer noch sehr viele Teilchen enthalten kann (man kann dieses Volumen " unendlich klein"). Insbesondere kann eine solche Gesamtgebühr sein$0$(z. B. gibt es in unserem infinitesimalen Volumen die gleiche Anzahl von Elektronen und Protonen), aber Teilchen können immer noch in das infinitesimale Volumen eintreten und es verlassen und so einen Strom erzeugen, ohne die Gesamtladung zu ändern, solange die Anzahl von beispielsweise Ein- und ausgehende Elektronen sind gleich.

In einem Draht kann dies durchaus der Fall sein, da dort normalerweise die gleiche Anzahl von Elektronen und Protonen ist und die Elektronen, die sich bewegen, um den Strom zu erzeugen, sich normalerweise nirgendwo "anhäufen".

Aber kommen wir zur Mathematik. Was ist die Definition von Stromdichte? Um es zu definieren, führen wir vier Hilfsfunktionen ein:

1. Die negative Ladungsdichte$\rho^-$. Dies ist eine Funktion von Raum und Zeit, die die Gesamtmenge an negativer Ladung ergibt, die zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem infinitesimalen Volumen enthalten ist:$\rho^-=\frac{dQ_{neg}}{dV}$. Durch Integrieren dieser Funktion über ein gewisses Volumen wird die gesamte negative Ladung in diesem Volumen erhalten
2. Die positive Ladungsdichte$\rho^+$. Wie oben, mutatis mutandis .
3. Das negative Geschwindigkeitsfeld$\bf v^-$: wieder eine Funktion von Raum und Zeit, die die ergibt$velocity$der negativen Ladung trägt zu einem bestimmten Zeitpunkt und Zeitpunkt. Vielleicht fällt dir ein${\bf v}(x,y,z,t)$als Durchschnittsgeschwindigkeit im Augenblick$t$der negativ geladenen Teilchen, die in dem infinitesimalen Volumen enthalten sind, das den Punkt umgibt$(x,y,z)$.
4. Das positive Geschwindigkeitsfeld$\bf v^+$. Dasselbe wie oben, wieder mit den fälligen Änderungen.

Es sollte klar sein, dass die Gesamtladungsdichte$\rho$wird von gegeben$\rho^-+\rho^+$. Definieren Sie nun die Stromdichte als${\bf J}=\rho^-{\bf v^-}+\rho^+{\bf v^+}$. Der Strom durch eine beliebige Oberfläche ist wie üblich durch den Fluss von gegeben$\bf J$durch diese Oberfläche.

Hier sieht man das$\rho=\rho^-+\rho^+$kann gut sein$0$, Aber$\bf J$muss nicht sein$0$sowie. Daher können Sie nirgendwo eine Nettoladung haben, aber immer noch einen Strom (Dichte). Wenn wir auf den Fall des Neutralleiters zurückkommen, ist es offensichtlich, dass das positive Geschwindigkeitsfeld null ist und nur die "negativen" Terme für den Strom verantwortlich sind, da die Protonen stillstehen und sich die Elektronen bewegen .