Freie und gebundene Strom- und Ladungsdichte in Maxwell-Gleichungen

Das elektrische Feld$E$ist das Feld, das wir anwenden, was wir mit der ersten Maxwell-Gleichung ausdrücken, ist, dass seine Quellen aus der Gesamtdichteladung stammen müssen$\rho$. In einem Material wird es einige feste Ladungen geben, also das Vorhandensein von$E$wird einige Dipole induzieren, und dies wird eine Polarisation bewirken$P$erscheinen. Dann wird die Polarisation mit der gebundenen Ladungsdichte in Beziehung gesetzt$\rho_b$, während wir den Rest der Ladungen, die sich frei bewegen können, mit Ladungen mit freier Dichte in Verbindung bringen$\rho_f$Im Vakuum gibt es keine gebundene Dichteladung, also haben wir$\rho = \rho_f$.

Bei Vorhandensein eines Materials definieren wir ein Verschiebungsfeld$D$, oder Antwortfeld als

$$D= \epsilon_0 E + P$$ Normalerweise betrachten wir die ideale Situation für lineares, homogenes und isotropes Material so $P=\chi \epsilon_0 E$, Wo $\chi$ist elektrische Suszeptibilität. So könnten wir schreiben $D=\epsilon_r \epsilon_0 E$, Wo $\epsilon_r = 1+ \chi$ist die relative elektrische Permittivität. $D$berücksichtigt dann das Vorhandensein freier Ladungen und gebundener Ladungen, obwohl seine Quellen nur die freien Ladungen sind. Dies ist leicht zu erkennen, da der Beitrag der Polarisation tatsächlich negativ ist. Das lässt sich zeigen $\nabla \cdot P =-\rho_b$, und wie wir wissen $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$. Wenn wir also die Divergenz der nehmen $D$oben definiert und wir verwenden diese Ergebnisse, die wir haben:

$$\nabla \cdot D = \epsilon_0 \nabla \cdot E + \nabla \cdot P = \rho - \rho_b =\rho_f$$

da per Definition$\rho = \rho_f + \rho_b$