Problem im Zusammenhang mit der Anwendung der Maxwell-Gleichung für sich gleichmäßig bewegende Punktladungen

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Problem im Zusammenhang mit der Anwendung der Maxwell-Gleichung für sich gleichmäßig bewegende Punktladungen

Aufladung
Physik
Punktteilchen
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

Prem

Maxwells 4. Gleichung, die das Magnetfeld beschreibt, hat zwei Terme:

\oint B \cdot D l = μ ICH + μ ε \frac{D Φ}{D T}

$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu I+\mu \varepsilon \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$

Jetzt wollte ich das Magnetfeld ableiten, das von einem sich gleichmäßig bewegenden Punktteilchen verursacht wird, und konnte das Biot-Savart-Gesetz ableiten, indem ich nur den zweiten Term der obigen Gleichung verwendete, was ergibt:

\oint B \cdot D l = μ ε \frac{D Φ}{D T} = \frac{μ Q v \times R}{2 π R^{3}}

$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu \varepsilon \frac{d\Phi }{dt} = \frac{\mu q \mathbf{v} \times \mathbf{r} }{2{\pi}\mathbf{r}^3 }$

Hier, $q$ Und $\bf v$ sind Ladung und Geschwindigkeit des Teilchens.

Jetzt ist mir klar, dass bei einem Punktteilchen das Magnetfeld hauptsächlich nur durch das sich ändernde elektrische Feld verursacht wird. Aber das ist nicht ganz richtig. Wenn das Teilchen eine Ebene senkrecht passiert, wirkt es als vorübergehender Strom der Größe ${\mu}.I$ . durch das Flugzeug gleiten. Für all diese Ebenen, die das Teilchen passiert, sollte es also vorübergehend ein „zusätzliches“ Magnetfeld geben, das vom Biot-Savart-Gesetz nicht vorhergesagt wird. Wenn also eine Punktladung eine Ebene passiert, ist das auf der Ebene induzierte Magnetfeld gegeben durch:

\oint B \cdot D l = \frac{μ . Q . v}{2 π R} + \frac{μ . Q . v}{4 π R^{2}}

$\oint \mathbf {B}\cdot d\mathbf{l}= \frac{\mu.q.\mathbf{v} }{2\pi\mathbf{r}} +\frac{\mu.q. \mathbf{v}}{4{\pi}\mathbf{r}^2 }$

Dieser hinzugefügte Term ist nicht unerheblich klein, um in Experimenten nicht nachgewiesen zu werden, daher gehe ich davon aus, dass der erste Term in Gleichung (1) keine Rolle bei der Beschreibung des durch eine Punktladung verursachten Magnetismus spielt. Also, was bedeutet Gleichung (1) mit Strom „I“? Dauerstrom traditionell in elektrischen Kabeln gesehen? Aber es gibt keine kontinuierlichen Ströme, da wir bei ausreichend kleinen Maßstäben Strom immer als durch verschiedene trennbare Elektronen verursacht ansehen können. Werden die Maxwellschen Gleichungen deshalb Näherungsgesetze genannt?

Danke schön. Wenn ich meine Frage nicht klar gestellt habe, sagen Sie es mir und ich werde es erklären.

....................................

Edit: Problem gelöst. Die Maxwell-Gleichung ist doch richtig!

Im Falle einer Punktladung spielt der durch die Ladung verursachte Strom keine Rolle im Magnetfeld um sie herum, da die Ladung ein Punkt ist und eine Ebene in 0-Zeit passieren würde, da der Punkt sehr klein ist.

Falls die Ladung größer als ein Punkt ist, verursachen der Strom sowie die Änderungsrate des elektrischen Flusses zusammen Magnetismus, so dass das Ergebnis aus komplizierten Gründen wieder dem Biot-Savart-Gesetz entspricht.

David z

Ich wollte einige Ihrer Formatierungen korrigieren, aber etwas ist mir nicht klar: Wie sehen die Dinge aus?

\vec{r^{2}}

$\vec{r^2}$ Und

\vec{r^{3}}

$\vec{r^3}$ bedeuten?

\vec{r^{2}} = \vec{r} \cdot \vec{r} = ‖ \vec{r} ‖^{2}

$\vec{r^2} = \vec{r}\cdot\vec{r} = \lVert\vec{r}\rVert^2$ (ein Skalar) oder

\vec{r^{2}} = ‖ \vec{r} ‖ \vec{r}

$\vec{r^2} = \lVert\vec{r}\rVert\vec{r}$ (ein Vektor) oder etwas anderes? Und

\vec{r^{3}} = ‖ \vec{r} ‖^{2} \vec{r}

$\vec{r^3} = \lVert\vec{r}\rVert^2\vec{r}$ (ein Vektor) oder

\vec{r^{3}} = ‖ \vec{r} ‖^{3}

$\vec{r^3} = \lVert\vec{r}\rVert^3$ (ein Skalar) oder

\vec{r^{3}} = (\vec{r} \otimes \vec{r}) \cdot \vec{r}

$\vec{r^3} = (\vec{r}\otimes\vec{r})\cdot\vec{r}$ (ein anderer Vektor) oder etwas anderes?

Prem

OK. Vektor.vektor= Skalar. Ich habe es vergessen. Entschuldigung und danke.

ehrliche_vivere

@Raja - Versuchen Sie, durch 3-Vektoren zu teilen? Unabhängig davon würde ich Jacksons E&M-Buch empfehlen, insbesondere die Seiten 248-258 der dritten Auflage (dh blauer Einband). Dort erklärt er sehr detailliert, warum und wie man von einer wirklich mikroskopischen Beschreibung der Maxwellschen Gleichungen zu der makroskopischen Version gelangen kann, an die die meisten Menschen gewöhnt sind und die sie verwenden ...

Antworten (2)

Problem im Zusammenhang mit der Anwendung der Maxwell-Gleichung für sich gleichmäßig bewegende Punktladungen

Ich wollte einige Ihrer Formatierungen korrigieren, aber etwas ist mir nicht klar: Wie sehen die Dinge aus? $\vec{r^2}$ Und $\vec{r^3}$ bedeuten? $\vec{r^2} = \vec{r}\cdot\vec{r} = \lVert\vec{r}\rVert^2$ (ein Skalar) oder $\vec{r^2} = \lVert\vec{r}\rVert\vec{r}$ (ein Vektor) oder etwas anderes? Und $\vec{r^3} = \lVert\vec{r}\rVert^2\vec{r}$ (ein Vektor) oder $\vec{r^3} = \lVert\vec{r}\rVert^3$ (ein Skalar) oder $\vec{r^3} = (\vec{r}\otimes\vec{r})\cdot\vec{r}$ (ein anderer Vektor) oder etwas anderes?
OK. Vektor.vektor= Skalar. Ich habe es vergessen. Entschuldigung und danke.
@Raja - Versuchen Sie, durch 3-Vektoren zu teilen? Unabhängig davon würde ich Jacksons E&M-Buch empfehlen, insbesondere die Seiten 248-258 der dritten Auflage (dh blauer Einband). Dort erklärt er sehr detailliert, warum und wie man von einer wirklich mikroskopischen Beschreibung der Maxwellschen Gleichungen zu der makroskopischen Version gelangen kann, an die die meisten Menschen gewöhnt sind und die sie verwenden ...

geniert · Answer 1

Die Ableitung des von einer bewegten Punktladung erzeugten elektromagnetischen Feldes wird vollständig als Lienard-Wiechert- Potential berechnet und diskutiert. Im Wesentlichen muss man den verzögerten Effekt der Feldausbreitung berücksichtigen, wie er in der speziellen Relativitätstheorie angegeben ist: Da sich das Teilchen bewegt, dauert es eine endliche Zeit, bis sich das Feld ausbreitet, und man kann den Ausdruck für das elektrische Feld nicht einfach als wahr annehmen erzeugt durch ein statisches Punktteilchen und nehmen Sie Ableitungen davon (wie Sie es oben getan haben).

Es werden auf jeden Fall zwei Beiträge zum Spiel beitragen: Das bewegte Teilchen erzeugt als Strom ein Magnetfeld (das sich in Raum und Zeit ausbreitet) über einem elektrischen Feld (weil es ja immer noch eine Ladung ist). Diese beiden Beiträge können durch ein retardiertes Potential als Paar beschrieben werden $(\varphi(x,t), \mathbf{A}(x,t))$ , wobei die resultierenden elektrischen und magnetischen Felder entsprechend abzuleiten sind.

Offensichtlich kovarianter Formalismus macht die Berechnung ziemlich einfach, und eine allgemeine exemplarische Vorgehensweise kann in der Standardliteratur gefunden werden, wie zum Beispiel die folgende $^1$ .

Werden die Maxwellschen Gleichungen deshalb Näherungsgesetze genannt?

Maxwellsche Gleichungen sind keine Näherungsgesetze. Das kovariante Befolgen aller Schritte, nachdem ein geeigneter Trägheitsreferenzrahmen gewählt wurde, arbeitet genau aus, was das Ergebnis sein muss.

$^1$ Klassische Elektrodynamik, JD Jackson

Beachten Sie, dass es in diesem Fall eine einfachere Lösung als die Lienard-Wiechert-Potentiale gibt: Lorentz-Transformation des Feldes im Ruhesystem des Teilchens.

Timäus · Answer 2

Ich möchte das größte Problem Ihrer Arbeit ansprechen. Magnetfelder werden nämlich nicht durch wechselnde Magnetfelder verursacht.

Dies ist ein überraschend häufiges Missverständnis, das anscheinend vollständig auf die faule Notation für Flussmittel zurückzuführen ist. Magnetischer Fluss könnte geschrieben werden als $\Phi_B$ und dann kannst du bekommen

\int \vec{E} \cdot D \vec{ℓ} = - \frac{D}{D T} Φ_{B} .

$\int\vec E\cdot d\vec \ell=-\frac{d}{dt}\Phi_B.$

Elektrischer Fluss könnte geschrieben werden als $\Phi_E$ und dann kannst du bekommen

\int \vec{B} \cdot D \vec{ℓ} = μ_{0} {ICH}_{enc} + μ_{0} ϵ_{0} \frac{D}{D T} Φ_{E} .

$\int\vec B\cdot d\vec \ell=\mu_0I_\text{enc}+\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_E.$

Und nun ist aus der ersten Gleichung klar, dass wechselnde Magnetfelder mit zirkulierenden elektrischen Feldern verbunden sind . Und aus der zweiten Gleichung geht ebenso klar hervor, dass wechselnde elektrische Felder mit zirkulierenden magnetischen Feldern verbunden sind .

Absolut alles andere, was Sie geschrieben haben, ist auch völlig falsch.

Danke, dass Sie diesen grundlegenden Fehler ausgewählt haben, aber eigentlich war der Fehler nicht auf ein Missverständnis von mir zurückzuführen. Ich habe geschrieben, dass ein Magnetfeld durch eine Änderung des „Magnetfelds“ verursacht wird. Ich "meinte", dass das Magnetfeld durch die Änderung des "elektrischen" Felds verursacht wird, und war überrascht, heute den Fehler zu finden. Der Rest der Frage macht für mich immer noch Sinn. Was ich eigentlich frage, ist, angenommen, ein geladenes Teilchen nähert sich senkrecht einer geschlossenen kreisförmigen Schleife. Dann entspricht das Magnetfeld an jedem Punkt der Schleife dem Gesetz von Biot-Savart, wenn ich nur den zweiten Term von Maxwells 4. Gleichung verwende.

Problem im Zusammenhang mit der Anwendung der Maxwell-Gleichung für sich gleichmäßig bewegende Punktladungen

Prem

David z

Prem

ehrliche_vivere

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