Bedingung für Dauerstrom und die Anwendbarkeit des Gaußschen Gesetzes?

Die Bedingungen für Dauerstrom werden oft als angegeben

∂ ρ ∂ T = 0 A N D ∂ J → ∂ T = 0
Kombinieren ∂ ρ ∂ T = 0 mit der Kontinuitätsgleichung ( ∇ ⋅ J → = ∂ ρ ∂ T ) bekommen wir das für einen Dauerstrom, das müssen wir haben
∇ ⋅ J → = 0
Das heißt, für einen stationären Strom muss die Divergenz der Stromdichte überall Null sein. Ich lehne diese Implikation ab, da wir annehmen, dass wir einen unendlichen Draht mit gleichmäßiger Leitfähigkeit haben σ und der Querschnittsfläche A Leiten eines konstanten Stroms mit Stromdichte J → . Die Stromdichte an jedem Punkt innerhalb des Drahtes ist offensichtlich gleich. Außerhalb des Drahtes ist die Stromdichte jedoch überall Null (wir können davon ausgehen, dass der Draht in einen perfekten Isolator eingetaucht ist). Das bedeutet, dass an der Grenze zwischen dem Draht und seiner Umgebung, J → erfährt einen diskontinuierlichen Abfall. Meine Frage ist nun, ob es eigentlich richtig ist zu sagen, dass wir das bei konstanten Strömungsverhältnissen unbedingt haben müssen ∇ ⋅ J → = 0 . Das kann sicher nicht stimmen, weil ich gerade das stereotypste und idealisierteste Beispiel für Dauerstrom (ein idealer und unendlicher Draht mit wirklich gleichmäßiger Leitfähigkeit) verwendet und gezeigt habe, dass wir das selbst in diesem extrem vereinfachten und idealisierten Fall nicht haben ∇ ⋅ J → = 0 für alle Punkte im Raum. Also, was ist hier los? Welche Auswirkungen hätte dies auch auf die Ladungsverteilung an der Grenze? Aus dem Ohmschen Gesetz haben wir das
E → = ρ J →
⇒ ∇ ⋅ E → = ∇ ⋅ ( ρ J → )
Offensichtlich ist die rechte Seite des Obigen an der Grenze undefiniert (beide σ Und J → ) erfahren dort Diskontinuitäten. Das heißt also die LHS, nämlich E → ist an der Grenze ebenfalls undefiniert. Bedeutet dies nach dem Gaußschen Gesetz nicht, dass die Ladungsdichte an der Grenze undefiniert ist?

Jede Hilfe zu diesen Themen wäre sehr willkommen!

Antworten (2)

Angenommen, wir haben einen Draht mit unendlichem Radius A auf der z Achse. Ein stationärer Strom in Zylinderkoordinaten kann beschrieben werden als

J → = J Θ ( A − ρ ) z ^ ,

Wo ρ ist der axiale Abstand und Θ ist die Heaviside-Schrittfunktion .

Nimmt man die Divergenz dieser Stromdichte, nimmt sie diese Form in Zylinderkoordinaten an

∇ → ⋅ J → = 1 ρ ∂ ( ρ J ρ ) ∂ ρ + 1 ρ ∂ J ϕ ∂ ϕ + ∂ J z ∂ z .

Die einzige Nicht-Null-Komponente der Stromdichte ist J z , aber es ist unabhängig von z . Wir müssen auch prüfen, was mit dieser Abweichung passiert ρ = 0 , da die ersten beiden Terme in diesem Bereich undefiniert sind. Dazu könnten wir integrieren ∇ → ⋅ ( A z ^ ) in einem unendlichen Zylinder mit Radius ε über dem z Achse

∭ v ∇ → ⋅ ( A z ^ ) D v = ∬ S A z ^ ⋅ D S → = ∬ S A z ^ ⋅ ρ ^ D S = 0 ,

So ∇ → ⋅ J → = 0 überall.

Danke für die hervorragende Antwort! Okay, also im Grunde meine Vermutung, dass ∇ ⋅ J → ist an der Grenze undefiniert, weil J → eine Diskontinuität erfährt, liegt einfach eine falsche Annahme vor? Das heißt, die Divergenz eines Vektorfeldes an einem unstetigen Punkt ist an diesem Punkt nicht unbedingt undefiniert?
Was in diesem Fall unter einer Diskontinuität leidet, ist die J z Komponente, aber diese Diskontinuität ist in der "radialen" Richtung, und da gibt es keine ∂ J z ∂ ρ abgeleitet, alles funktioniert gut.

Meine Vermutung wäre, dass außerhalb des Drahtes keine Stromdichtefunktion definiert ist. alle Punkte, an denen die J-Funktion definiert ist, zeigen keine Änderung. div j = 0 kann direkt aus den Feldgleichungen abgerufen werden, wenn de/dt 0 ist.

Nehmen Sie eine Pillbox aus einem geraden Draht. Es gibt keine radiale Komponente von j außerhalb des Drahtes. Daher ist der einzige Fluss in und aus der Box in Richtung des Drahtes, daher Null-Nettofluss und somit Null-Divergenz

Bearbeiten: Auch wenn es als Null definiert ist und es eine Diskontinuität gibt. das beweist immer noch nicht, dass div j nicht null ist, da ... wie Sie gesagt haben, dass es null j außerhalb des Drahtes gibt, was bedeutet, dass eine Pillbox keine radiale Komponente von j außerhalb des Drahtes zeigen würde

Ein weiterer Punkt, der hinzugefügt werden muss, ist, dass das Biotsavart-Gesetz für Dauerströme ... eigentlich nicht technisch gültig ist. mit stationären Strömen meine ich, dass die tatsächliche Größe des Stroms konstant ist. Ändert sich jedoch die Richtung des Stroms, z. B. in Spulen, ändert sich die Stromdichte und damit das elektrische Feld. (Stromdichte = k elektrisches Feld) und Strahlung würde tatsächlich an den Drahtbiegungen erzeugt (obwohl klein, ignorieren wir sie sogar für konstante Ströme).
Bedingung für Dauerstrom und die Anwendbarkeit des Gaußschen Gesetzes?
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