Oberflächenladung auf einem stromdurchflossenen Leiter ist unmöglich?

Ich bin mit deiner Mathematik nicht einverstanden. Aufgrund der Diskontinuität der Oberfläche haben Sie einige Sprungbedingungen vernachlässigt.

Aus der Kontinuitätsgleichung für die Ladungen erhält man:

Unter Berücksichtigung von Oberflächenladung und Stromdichten und unter Verwendung von Verteilungen zur Berechnung der Divergenz erhält man:

$\overrightarrow{j^{+}}$ist die Stromdichte außerhalb des Leiters (Null).

$\overrightarrow{j^{-}}=\overrightarrow{j_{S}}$ist der Oberflächenstrom.

$\{ \overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{j}\}$ist die übliche Divergenz, wo es keine Diskontinuität gibt. Aus der Ladungserhaltungsgleichung erhält man:

Seit$\overrightarrow{j_{S}}$tangential zur Oberfläche ist, ist das Skalarprodukt null.

Sie erhalten also:

Die Oberflächenladungsdichte, sofern vorhanden, ist konstant.

Anwenden der gleichen Technik auf:

Man bekommt:

Außerhalb des Dirigenten:

Auf der Leiteroberfläche:

Also bekommen wir:$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{E^{-}}=0$

Wenn wir dieses Ergebnis mit der zweiten Maxwell-Gleichung kombinieren, erhalten wir:

Sie können also die Möglichkeit einer Oberflächenladungsverteilung nicht ausschließen:$\varrho_{S}$. Der Grund kann jedoch nicht in den Sprungbedingungen der Maxwell-Gleichungen gefunden werden. Wenn es eine Ladungsdichte gibt, hat sie andere Gründe. Jacksons Papier, das Sie bereitgestellt haben, enthält drei davon:

1. Um das Potential um den Stromkreis herum aufrechtzuerhalten.
2. Um das elektrische Feld im Raum außerhalb der Leiter bereitzustellen.
3. um den begrenzten Stromfluss zu gewährleisten.

Diese Frage ist etwas schwierig, weil sie besagt, dass Sie nach einer kanonischen Antwort suchen. Die kanonische Antwort ist jedoch in Jacksons 1996 erschienenem Artikel „Oberflächenladungen auf Schaltungsdrähten und Widerständen spielen drei Rollen“ enthalten, der Ihnen bereits bekannt ist. Die kanonische Antwort ist also klar und Sie sind sich dessen bereits bewusst.

Was Sie anscheinend wirklich wollen, ist ein Verständnis dafür, wo Ihre Argumentation versagt. Sie kennen die kanonische Antwort bereits, haben aber ein klares und überzeugendes Argument dagegen.

Das Problem ist, dass Sie in Ihrer Analyse zwei Schlüsselannahmen treffen, die nur während des stationären Zustands gelten, und dann fragen Sie:

Wenn dies der Fall ist, wie kann sich dann jemals eine Oberflächenladungsdichte auf der Oberfläche eines leitenden Drahtes aufbauen?

Angesichts Ihrer beiden stationären Annahmen kann sich die Oberflächenladungsdichte tatsächlich nicht aufbauen, da angenommen wird, dass sie sich bereits vollständig aufgebaut hat! Lassen Sie uns die spezifischen Annahmen untersuchen:

da ∇⋅𝐽⃗=0 für einen stationären Strom

Das ist das große Problem. Durch die Kontinuitätsgleichung$\nabla \cdot \vec J +\partial_t \rho=0$, Wo$\partial_t=\frac{\partial}{\partial t}$. Während der Zeit, in der die Oberflächenladung aufgebaut wird$\partial_t \rho \ne 0$und deshalb$\nabla \cdot \vec J \ne 0$. Diese Bedingung wird also beim Ladungsaufbau explizit verletzt.

Du hast benutzt$\nabla \cdot \vec J = 0$an zwei Stellen. Einer war der Schluss, dass die Ladungsdichte überall im Draht Null war, diese Bedingung also nicht mehr zutrifft. Vor dem stationären Zustand, während die Oberflächenladungen noch aufgebaut werden, kann im Inneren des Leiters tatsächlich eine Ladungsdichte ungleich Null vorliegen. Zweitens hast du es benutzt, um das zu begründen$\nabla \cdot \vec E = \vec J \cdot \nabla (1/\sigma)$(Anmerkung, ich benutze$1/\sigma$für den spezifischen Widerstand, da ich verwende$\rho$für die Ladungsdichte). Somit versagt diese Anforderung auch während der instationären Periode des Oberflächenladungsaufbaus.

die Stromdichte$\vec J$ist immer in axialer Richtung (auch nahe oder an der Oberfläche) während$\nabla \rho$muss immer radial nach außen in die Nähe oder auf die Oberfläche zeigen

Dass die Stromdichte in axialer Richtung liegt, ist kein allgemeines Naturgesetz. Der Leiter ist ein isotropes Medium, daher gibt es keine natürlich bevorzugte Richtung und der Strom kann in jede Richtung fließen, in die das E-Feld zeigt. Die Tatsache, dass die Stromdichte in axialer Richtung liegt, ergibt sich aus der Bedingung, dass$\nabla \cdot \vec J = 0$was, wie oben diskutiert, während des Aufbaus von Oberflächenladungen nicht gilt.

Während des Aufbaus der Oberflächenladungen wird die Stromdichte eine Komponente haben, die normal zur Oberfläche ist. Genau dieser Anteil führt zur Aufladung der Leiteroberfläche. Wenn Sie davon ausgehen, dass es nicht vorhanden ist, gehen Sie davon aus, dass die Ladung nicht aufgebaut werden kann.

Zusammenfassend haben Sie also Recht, dass es angesichts der stationären Annahmen nicht möglich ist, dass sich Oberflächenladungen aufbauen. Während dieser Zeit seit$\partial_t \rho \ne 0$, werden die Steady-State-Annahmen zwangsläufig verletzt. Insbesondere kann innerhalb des Leiters eine Ladungsdichte ungleich Null vorliegen und die Stromdichte wird eine Komponente haben, die senkrecht zur Oberfläche ist. Diese beiden Tatsachen ermöglichen den Aufbau der Oberflächenladungsdichte.

BEARBEITEN: Nachdem sich die Oberflächenladungen aufgebaut haben und wir uns im stationären Zustand befinden, hatten Sie noch eine Sorge. Speziell,

Das bedeutet also das Skalarprodukt$\nabla \cdot \vec E = \vec J \cdot \nabla \rho$an oder in der Nähe der Oberfläche immer gleich null sein, und daher muss nach dem Gaußschen Gesetz auch die Oberflächenladungsdichte an der Oberfläche immer gleich null sein.

Dies ist einfach eine irrtümliche Implikation auf der Oberfläche eines Leiters. Stellen Sie sich einen isolierten Leiter vor, der in einem externen E-Feld platziert ist. Ein solcher Leiter hat im elektrostatischen Zustand eine Oberflächenladungsverteilung, die das äußere E-Feld genau aufhebt (dh er wirkt wie ein Faraday-Käfig), so dass im Inneren kein E-Feld vorhanden ist. Im elektrostatischen Zustand gilt per Definition$\vec J=0$und deshalb$\vec J \cdot \nabla (1/\sigma) = 0$, obwohl die Oberflächenladung nicht Null ist. Also, entgegen Ihrer Aussage, Gaußsches Gesetz zusammen mit$\vec J \cdot \nabla (1/\sigma) = 0$bedeutet nicht, dass die Oberflächenladung Null ist.

Das Problem scheint das zu sein$\nabla (1/\sigma)$ist unendlich und$\vec J$ist Null. Ihr Produkt ist also undefiniert. In diesem Fall ist es endlich, aber diese Gleichung nützt nichts, um das zu entdecken.

Es gibt eine andere Betrachtungsweise des Problems, die in der 1941 erschienenen Abhandlung The Electric Field Associated with a Steady Current in Long Cylindrical Conductor von Alexander Marcus aufgezeigt wurde. Wie das Jackson-Papier platziert es den Leiter entlang der Achse eines weit entfernten Zylinders, um einen Rückweg für den Strom zu haben.

Da es sich um ein stationäres Problem handelt, behandelt er es als "ein interessantes Beispiel für die Laplace-Gleichung". Unter Verwendung der Trennung von Variablen in Zylinderkoordinaten nimmt er eine lineare Lösung in z an. Dann schaut er sich die Randbedingungen an. Nach dem Papier (in Gaußschen Einheiten).

Im Draht$\alpha$kann auf 0 und gesetzt werden$\beta$bis 1.

Wenn wir die Ableitung nehmen, um das elektrische Feld zu finden, sehen wir, dass das E-Feld eine Konstante ist und entlang des Drahtes zeigt, und innerhalb des Drahtes gibt es keine radiale Komponente zu E.

Wo die Indizes 1 und 2 innerhalb und außerhalb des Drahtes sind und wir das auch sagen könnten, wenn der Widerstand des Drahtes pro Längeneinheit konstant ist$-A_1=RI$oder$J=\sigma E$wie wir erwarten.

Außerhalb des Drahtes,

Vermietung$\alpha$=1 und Auswertung der Randbedingungen$\beta=-log(r_1)$geben$A_2=-log(\frac{r_0}{r_1})$

Also im Draht

außerhalb des Drahtes

Da die Potentiale und die elektrischen Felder gefunden werden, können wir auch die Oberflächenladung finden, indem wir die Gaußsche Pillbox verwenden.

was gibt

Wenn man das Problem auf diese Weise betrachtet, stimmt es mit Jacksons Papieraussage überein, dass die Oberflächenladung notwendig ist, um die Potentiale außerhalb des Drahtes aufzubauen.

Auch im stationären Zustand können Sie die Oberflächenladungsdichte finden, wenn Sie die Potentiale innerhalb und außerhalb des Drahtes finden können. Es gibt einige pädagogische Abhandlungen im American Journal of Physics, die dies numerisch tun . Dabei sieht man auch, wie sich die Ladung an Knicken im Draht verteilt. Wenn geeignete Zeitschritte unternommen werden, kann man den Übergang sehen , wie sich die Ladung bewegt und entspannt, wenn ein Schalter umgelegt wird.

Die lokale Formulierung des Ohmschen Gesetzes

Wenn sich ein bewegliches geladenes Teilchen jedoch sehr nahe an der Oberfläche des Drahts befindet, erfährt es eine zusätzliche Kraft, die nicht ignoriert werden kann: die Zwangskraft des Drahtkörpers, die das Teilchen zurück in das leitende Medium drückt (in Richtung senkrecht zur Oberfläche). ). Diese Kraft verhindert, dass die den Strom bildenden geladenen Teilchen aus dem Draht in das nichtleitende Medium springen. Sie würden sonst herausspringen, weil sie sich alle abstoßen.

Aus reduktionistischer/mikroskopischer Sicht ist diese Zwangskraft das Ergebnis von Millionen von mikroskopischen Anziehungs- und Abstoßungskräften aufgrund aller anderen geladenen Teilchen im System und ist fast überall vorhanden und von Null verschieden, sowohl innerhalb als auch außerhalb des Drahtes.

In der makroskopischen EM-Theorie ist diese Kraft jedoch nur relevant, wenn sich das geladene Teilchen sehr nahe an der Grenze befindet, an der sich die Eigenschaften des Mediums mit der Position ändern. In diesem Fall ist die Oberfläche des Drahtes eine solche Grenze: Normalerweise zieht der Draht die Ladung viel stärker an als das nichtleitende Medium außerhalb des Drahtes. Diese Zwangskraft ist normalerweise nicht im makroskopischen elektrischen Feld enthalten$\mathbf E$, weil sie nicht durch die makroskopische Verteilung der elektrischen Ladung bestimmt wird, sondern durch die Art der Materialien an der Grenze. Die Zwangskraft in der makroskopischen EM-Theorie ist also eine unabhängige Kraft, die zusätzlich zur Kraft wirkt$q\mathbf E$aufgrund des makroskopischen elektrischen Feldes.

Das "feste" Ohmsche Gesetz auf der Oberfläche des Drahtes wäre also so etwas wie

Wo$\sigma'$ist die effektive Leitfähigkeit auf der Oberfläche des Drahtes (die sich von der im Inneren des Drahtes unterscheiden kann) und$\mathbf C$charakterisiert die Zwangskraft pro Ladungseinheit, die die Ladungen in der negativ geladenen Drahtoberflächenschicht an den Draht gebunden hält.

Stellen wir uns einen negativ geladenen Oberflächenfleck vor. Somit zeigt das elektrische Feld direkt über dem Fleck in nichtleitendem Medium zum Leiter, und das elektrische Feld, das auf Ladungen in der Oberflächenschicht wirkt, wird, obwohl es etwas kleiner sein kann als das Feld direkt darüber, in die gleiche Richtung weisen. Die negative Ladung in dieser Oberflächenschicht erfährt also eine elektrische Kraft, die sie aus dem Draht drückt. Trotzdem fließt dort normalerweise keine negative Ladung in diese Richtung. Hier sehen wir das übliche Ohmsche Gesetz$\mathbf j = \sigma \mathbf E$ist in dieser Oberflächenschicht nicht gültig.

Das heißt, es sei denn, es findet eine Feldemission oder thermische Emission statt. Feldemission bedeutet beispielsweise, dass das elektrische Feld in der Oberflächenschicht so stark ist, dass es den maximal möglichen Wert der Zwangskraft überwindet, die der Leiter pro Ladungseinheit ausüben kann, und negative Ladungen beginnen, aus dem Leiter herauszuspringen. Dies geschieht jedoch nur, wenn das elektrische Feld darin auf den Draht zeigt und stark genug ist, was durch Ankurbeln der Spannung irgendwo oder durch Konzentration genügend negativer Ladungen auf einem isolierten Leiter erreicht werden kann. Typischerweise beginnt die Feldemission an den schärfsten Kanten des Leiters, da das elektrische Feld dort typischerweise am stärksten ist. Aber auch wenn der Strom im normalerweise nicht leitenden Medium (Vakuum) auftritt, sollte nicht erwartet werden, dass er dem Ohmschen Gesetz gehorcht.

Ich denke, dass es im Gegensatz zu den oben genannten Antworten eine andere Erklärung geben sollte. Stellen Sie sich einen stetig fließenden Kathodenstrahl vor. In einem Bereich um ihn herum wird es sicherlich ein elektrisches Feld erzeugen, aber anders als in der Elektrostatik ist dies nicht auf statische, sondern auf dynamische Ladungen zurückzuführen. In ähnlicher Weise denke ich, dass es in einem bestimmten Querschnitt des dicken Drahtes definitiv eine ungleichmäßige Ladungsverteilung im Draht geben wird, aber keine statische Aufladung, sondern aufgrund fließender Elektronen. Daher gibt es eine ungleichmäßige Stromdichte im Draht, was zeigt, dass die Berechnungen falsch sind. Ich denke jedoch, dass die Oberflächenladungsdichte eine statische ist und man ihren Beitrag zum elektrischen Feld auch nehmen muss.

Wie von RW Bird aufgezeigt, variieren die Oberflächenladungsdichte und die Stromdichteverteilung auch über die Länge, ohne das 1. Kirchhoffsche Gesetz zu verletzen

Ich stimme der Antwort von @ Shaktyai zu. Ich hoffe, was ich hier geschrieben habe, stimmt mit Shaktyais Antwort überein, aber wenn es irgendwelche Missverständnisse gibt, liegt das in meiner Verantwortung.

Unter der Annahme, dass ein stationärer Zustand erreicht wird, betrachten Sie ein einfaches Problem mit angeschlossenen Kondensatoren und Batterien. .

$\vec{E}$Und$\vec{J}$auf den internen Drähten und Platten verschwinden. Ich denke, dieses Problem mit Kondensatoren und Batterien ist ein Sonderfall von SalahTheGoats Bedenken. Da dies ein Sonderfall ist, sollte der Satz, den er oder sie geschrieben hat, auch für dieses Problem gelten$\vec{J}=0$. Es ist jedoch bekannt, dass sich auf den Leiteroberflächen von Kondensatoren Ladung ansammelt. Daher ist es falsch zu sagen "Oberflächenladung auf einem stromführenden Leiter ist unmöglich".

Ihnen entgeht ein wichtiger Teil des Puzzles. Betrachten wir der Einfachheit halber einen Draht mit gleichmäßigem spezifischem Widerstand. Für einen konstanten Strom müssen sich die Ladungen mit konstanter Geschwindigkeit und entlang des Drahtes bewegen (zumindest makroskopisch). Das bedeutet, dass die auf sie wirkenden Nettokräfte Null sein müssen.

Die erste zu berücksichtigende Kraft ist die Lorentz-Kraft aufgrund des vom Strom erzeugten Feldes. Unter der Annahme einer gleichmäßigen Stromdichte im Draht finden wir, dass das Magnetfeld im Inneren gegeben ist durch

Aus der Divergenz dieses elektrischen Feldes ergibt sich, dass es eine Ladungsdichte im Inneren des Drahtes induziert

Wir können dann diese Differentialgleichung lösen, um zu erhalten$\rho$... (getan werden)

Da der Draht ladungsneutral sein muss, müssen wir an der Oberfläche eine entgegengesetzte Ladung haben, sodass für einen gegebenen Querschnitt die Gesamtladung Null ist:

Schließlich finden wir die Ladungsdichte an der Oberfläche des Drahtes: (zu tun)

Beachten Sie, dass diese Oberflächenladung durch die Verschiebung der Ladungen aufgrund des durch den Strom induzierten Magnetfelds erzeugt wird. Es besteht keine Notwendigkeit für einen variierenden spezifischen Widerstand. Darüber hinaus könnten Sie sich in Konflikt geraten fühlen, wenn Sie eine endliche Ladungsdichte in einem Leiter sehen. Das ist eine gebundene Ladung, die entsteht, weil wir es nicht mit Elektrostatik zu tun haben, da es einen endlichen Strom gibt. Dies ist im Wesentlichen derselbe Mechanismus des Hall-Effekts , mit der Besonderheit, dass hier das Feld, das ihn erzeugt, durch den Strom in derselben Leitung verursacht wird.