Wie groß ist das Potential in einer hohlen leitenden Kugel mit gleichmäßig umgebenden Multipolen?

Betrachtet man beispielsweise eine hohle leitende Kugel mit einer umgebenden gleichmäßigen Ladungsverteilung, so hat sie im gesamten Inneren der hohlen Kugel ein konstantes und gleichmäßiges Potential, weil ϕ ∼ 1 / R . Aber wenn es stattdessen Dipole, Quadrupole, Oktupole usw. gäbe, die eine Hohlkugel gleichmäßig mit umgeben ϕ ∼ 1 / R N Und N eine beliebige ganze Zahl, ist das Potential innerhalb der Kugel notwendigerweise überall gleich?

Die grundlegende Antwort scheint nach dem Gaußschen Gesetz ja zu sein, da es innerhalb der Hohlkugel keine Ladung gibt. Und ich habe geometrische Argumente dafür gesehen N = 1 Fall, aber gibt es allgemeine Beweise für Willkür N ?

Soll die Kugel ein Dirigent sein?
Ja, es ist eine perfekt leitende Kugel.
Da Sie wissen N = 1 stimmt, könnten Sie vielleicht eine mathematische Induktion anwenden?
Der Link in meiner Frage erklärt das geometrische Argument für N = 1 . Es scheint nicht trivial zu sein, sich auf verschiedene auszudehnen N , obwohl das im Wesentlichen das ist, was ich suche.
Das Halbach-Array zeigt, dass Sie mit Dipolen interne Felder ungleich Null erzeugen können; Hier sind einige Bilder für die zylindrische Anordnung en.wikipedia.org/wiki/Halbach_array#/media/… , im selben Artikel gibt es auch einige Worte zur sphärischen Anordnung.

Antworten (1)

Wenn die leitende Kugel aus massivem Metall besteht, muss ihr gesamtes Inneres ein Äquipotential sein. An seiner Oberfläche befindet sich eine Oberflächenladungsschicht, die die elektrischen Felder aller externen Quellen aufhebt. Diese Oberflächenladungsverteilung kann ziemlich kompliziert sein, aber es gibt immer eine Verteilung mit den richtigen Eigenschaften.

Wenn die Kugel hohl ist (wobei sich keine freie Ladung im Inneren des Hohlraums befindet), existiert die gleiche Oberflächenverteilung auf der Außenfläche. Da die Felder der externen Ladungen plus der Oberflächenladungsschicht überall innerhalb der Kugel genau ein Nullfeld ergeben, gibt es immer noch überall im Hohlraum ein verschwindendes elektrisches Feld. Und wenn E → = 0 in dieser Region das Potenzial v muss über der leitenden Schale und ihrem hohlen Inneren eine Konstante sein.

Ich stimme sicherlich zu, basierend auf dem Gaußschen Gesetz, das Sie in Worten erklärt haben. Im Allgemeinen muss eine beliebig komplizierte Oberflächenladungsverteilung ein konstantes Potential im Inneren gewährleisten. Aber den Fall habe ich für gegeben 1 / R N scheint nur eine verallgemeinerte Form der Monopolerweiterung zu sein, für die man steht 1 / R , und für die Beweise existieren. Ich suche nach Beweisen dafür, warum dies für willkürlich gilt N .
Wie groß ist das Potential in einer hohlen leitenden Kugel mit gleichmäßig umgebenden Multipolen?
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