Weit entfernt von einem geladenen Leiter gleicht das Feld einer Punktladung. Wo liegt der Punkt?

Im Rahmen der klassischen Elektrodynamik sollte sich das Feld bei Entfernungen, die viel größer als die Dimension eines Leiters sind, dem einer Punktladung annähern, die sich am Leiter befindet. Aber wo ?

Für einen hochsymmetrischen Leiter sollten wir in der Lage sein, einige Informationen über den Ort der "Punktladung" abzuleiten. Betrachten Sie jedoch einen willkürlich geformten leitfähigen Körper. Liegt der Punkt im Schwerpunkt?

Bearbeiten: Ich frage mich nicht, warum wir eine Quelle in großen Entfernungen als Punktladung annähern. Diese Frage betrifft die geometrische Konvergenz in einem physikalischen Szenario. Konvergieren die Feldlinien gegen die einer Punktladung, gehen sie von einem Punkt aus. Gibt es bekannte Beziehungen zwischen dem Punkt und dem Körper selbst?

Wenn Sie ein quadratisches Blech mit einer Seitenlänge von 1 cm haben. Sie können davon ausgehen, dass sich der Punkt irgendwo in der Nähe des Metalls befindet, wenn Sie eine Meile entfernt sind. Der Punkt ist NICHT der Schwerpunkt. Der Schwerpunkt ist eine rein geometrische Größe. Die Ladungsdichte kann über die Geometrie variieren. Normalerweise erhältst du die Position des Punktes, wenn du die Näherungen auf die exakte Formel anwendest.
@YashasSamaga Das macht Sinn. Ich nehme an, wir könnten die Punktposition aus der Formelerweiterung herausjagen. Das würde einige Fall-zu-Fall-Analysen liefern. Ich habe den Schwerpunkt als Beispiel oder Köder, nehme ich an, aber ich bin neugierig, ob es irgendwelche bekannten Beziehungen gibt, die sich aus der Geometrie des Leiters ergeben.
Es gibt keinen festen Punkt, aber Sie erhalten den Standort, nachdem Sie die Annäherung angewendet haben. Betrachten Sie zum Beispiel einen Dipol, wenn Sie ihn verwendet haben r als Abstand von dem Punkt, an dem Sie die Feldstärke ermitteln möchten, bis zum Mittelpunkt des Dipols. Dann nehmen Sie an, dass die gesamte Ladung von einem weit entfernten Ort im Mittelpunkt des Dipols konzentriert ist.
Wie kommt man zu "Wenn die Feldlinien gegen die einer Punktladung konvergieren, gehen sie von einem Punkt aus." ? ​ ​ ​ ​
@RickyDemer Es war eine schlechte Formulierung. Vielleicht ist das besser: „Wenn die Feldlinien einer Quelle mit denen einer Punktladung zusammenlaufen, müssen wir in der Lage sein, die Position dieses Punktes zu lokalisieren.“
Wie die Antworten erklären, gibt es viele Möglichkeiten, "um die Position dieses Punktes zu lokalisieren". ​ ​
Wenn Ihre Fehlertoleranz hoch genug ist, damit die Annäherung gültig ist, ist sie wahrscheinlich auch hoch genug, damit die genaue Position keine Rolle spielt.

Antworten (5)

Die Antwort ist, dass es egal ist.

Der Abstand, in dem Felder dem einer Punktladung ähneln, ist auch der Abstand, in dem es egal ist, wo sich dieser Punkt innerhalb der Struktur befindet. Die Feldänderung aufgrund des Umschaltens des Ursprungs innerhalb des Leiters ist vergleichbar mit den Korrekturen der Punktladungsannäherung, die beide aus Multipoltermen gleicher Ordnung entstehen.

Wenn es eine Rolle spielen würde, wäre es kein Punktladungsfeld!
Entschuldigung, das beantwortet meine Frage nicht. Siehe Bearbeiten.
Sogar körperlich. Die Näherung "von einem Punkt ausgehende Feldlinien" können Sie nur vornehmen, wenn Sie so weit entfernt sind, dass die Nahfeldeffekte unterdrückt werden, und es spielt keine Rolle, wo sich dieser Punkt auf der jetzt zu einem Punkt zusammengeschrumpften Struktur befindet.
Ja, das ist mir bewusst. Aber das beantwortet meine Frage nicht. Ich interessiere mich nicht für Annäherung oder ob das Ergebnis im Experiment eine Rolle spielt. Ich suche ein mathematisches Ergebnis aus der Elektrodynamik.
Aber das ist die mathematische Behandlung! Selbst wenn Sie sich sehr weit entfernen, werden in den Feldern "Non-Point-Charge"-Begriffe angezeigt. Sie nehmen nur an Größe ab, sterben aber nie vollständig ab. Sie machen also eine Annäherung, wenn Sie sagen, dass sich das Feld auf das der Punktladung reduziert. Und Sie können beweisen, dass diese Annäherung von derselben Größenordnung ist wie der Fehler, den Sie erhalten, wenn Sie Ihren Koordinatenursprung in der Struktur ändern.
Es beantwortet Ihre Frage: Die Antwort lautet, dass das Ergebnis nach der Fernfeldnäherung dasselbe ist, unabhängig davon, wo Sie diesen Punkt auswählen. Dies ist ein mathematisches Ergebnis. (Edit: Sieht so aus, als wäre ich zu spät gekommen)
Das Feld konvergiert nicht zu dem einer Punktladung im Unendlichen?
Eine leitfähige Kugel wird jedoch in ihrem Zentrum als Punktladung angesehen. Ich kann nicht sagen, dass die Quelle beispielsweise von einem Punkt auf seiner Oberfläche ausging ...
Im Unendlichen ist das Feld Null. Die leitfähige Kugel hat mit der Annäherung nichts zu tun. Tatsächlich ist die Annahme, dass sich die Ladung im Zentrum befindet, keine Annäherung. Es leitet sich vom Gauß'schen Gesetz ab.
@zahbaz Aber es gibt keine Punktgebühr. Es existiert nicht in der Realität. Wenn Sie alle "Feldlinien" zeichnen, werden Sie feststellen, dass sie nicht alle einen einzigen Punkt im Raum kreuzen. Wir approximieren die Unterschiede nur auf einen einzigen Punkt, an dem der Unterschied für Ihre Berechnung nicht wirklich von Bedeutung ist - aber die Ladung ist immer noch über den Leiter verteilt, wir ignorieren einfach die unbedeutenden Unterschiede. Egal für welchen Punkt Sie sich entscheiden, Sie erhalten Ergebnisse mit der gleichen Genauigkeit innerhalb der erforderlichen Genauigkeit – das ist der springende Punkt der Annäherung.
Wenn ich eine Fixpunktladung von positiv 1'000'000 Coulomb an Koordinaten platziere ( 0 , 0 , 0 ) , und eine weitere Fixpunktladung von gerade positiv 1 Coulomb at ( 1 , 0 , 0 ) , und ich betrachte das resultierende Feld aus großer Entfernung, wäre eine Monopolnäherung, bei der sich die gesamte Ladung befindet ( 1 , 0 , 0 ) genauso genau sein wie eine Annäherung, wo sich die gesamte Ladung befindet ( 0 , 0 , 0 ) ? Beachten Sie, dass diese Zwei-Punkte-Menge kein konvexer Körper ist, also könnte es eine Annäherung sein, bei der alle Feldlinien gerade sind und von dem Punkt ausgehen ( 0,000001 , 0 , 0 ) , ein Punkt "außerhalb" meiner Zwei-Punkte-Menge, ist die beste Annäherung?
Danke @RazimanTV, dieser Dialog hat mir geholfen, einige Missverständnisse auszuräumen, die ich hatte.

Basierend auf einigem Hin und Her, das ich sehe, denke ich, dass Sie die falsche Frage stellen. Ich denke, die Frage, die Sie stellen möchten, lautet: "Bei einer Ladungsverteilung ρ ( r ) , wo sollte ich eine Punktquelle platzieren, damit das genaue Potenzial angezeigt wird ϕ ( r ) = ∫ ρ ( r ' ) / | r − r ' | d v ' dem Potential der Punktquelle am ehesten angenähert wird?"

Die Antwort ist, dass Sie wählen wollen r 0 so dass

∫ ( r ' − r 0 ) ρ ( r ' ) d v ' = 0

Wenn die Ladungsverteilung gleichmäßig ist, liegt die Antwort im Schwerpunkt. Der Grund, warum dies der richtige Punkt ist, ist, dass das Dipolmoment der Differenz zwischen exakter und ungefährer Lösung auf Null geht. Der Fehler im Potential ist also Ö ( 1 / r 3 ) , wohingegen bei jeder anderen Wahl der Fehler den Dipolterm beinhalten würde und daher sein würde Ö ( 1 / r 2 ) . (Die richtige Einstellung der Höhe der Punktgebühr berücksichtigt die Monopollaufzeit von Ö ( 1 / r ) .)

Weitere Klarstellung:

Die Wahl der r 0 das die obige Dipolbeschränkung erfüllt, ist

r 0 = ∫ r ' ρ ( r ' ) d v ' ∫ ρ ( r ' ) d v '

und kann als "Ladungszentrum" ähnlich einem Massenzentrum angesehen werden.

Die Multipolerweiterung des Potentials ϕ ( r ) enthält Terme in aufsteigender Reihenfolge 1 / r

  • Monopolbegriffe zerfallen mit Ö ( 1 / r ) . Alle Ladungsverteilungen mit gleicher Gesamtladung innerhalb eines lokalen Bereichs haben das gleiche Monopolmoment. Aus diesem Grund funktioniert eine Punktladung mit derselben Gesamtladung als Annäherung, und es spielt keine Rolle, wo sie sich befindet, solange sie sich in der Nähe derselben Region befindet. Bei dieser Annäherung wird der Fehler zwischen dem genauen Potential und der Annäherung sein Ö ( 1 / r 2 ) . Wenn r groß genug ist, dann funktioniert es wie alle anderen sagen, und es spielt keine Rolle, wo r 0 ist.
  • Wenn wir jedoch wollen, können wir mit einer wohlüberlegten Wahl des Ortes der Punktladung sogar noch genauer sein. Dipolterme zerfallen mit Ö ( 1 / r 2 ) . Da die Punktquelle eindeutig kein Dipolmoment hat, wird der Punkt ausgewählt r 0 so dass das genaue Potential kein Dipolmoment hat r 0 entfernt Ö ( 1 / r 2 ) Abhängigkeit vom Fehler. Dies lässt nur Ö ( 1 / r 3 ) und höhere Fehlerterme.
Ich glaube, "die Ladung ist konstant" muss "die Ladungsverteilung ist gleichmäßig" sein.
"Wenn die Ladungsverteilung gleichmäßig ist, liegt die Antwort im Schwerpunkt". Ist das wirklich richtig? Der Schwerpunkt ist das Volumenzentrum des Leiters, aber die Ladung auf dem Leiter muss sich auf der Oberfläche befinden. Außerdem ist es unmöglich, die Ladung auf einem beliebig geformten Leiter gleichmäßig zu machen, da er die Oberflächenäquipotentialbedingung erfüllen muss.
@Raziman Der Punkt ist mathematisch korrekt, sagt aber nichts darüber aus, wie diese Ladung dorthin gekommen ist oder ob sie physikalisch erreichbar ist. Es geht auch nicht davon aus, dass es überhaupt einen Dirigenten gibt. Der Grund für die Aufnahme dieses Satzes besteht darin, der Gleichung eine intuitive geometrische Bedeutung zu geben.

Die Multipolentwicklung ist eine nützliche Annäherung an niedrige Ordnung (Mono-, Di-, -Quadrupol) wenn der Durchmesser der Ladungsverteilung d ist viel kleiner als die Entfernung, aus der Sie das Feld oder Potential beobachten r .

Diese Beobachtungsentfernung bezieht sich auf einen Ursprung, den Sie bequemerweise irgendwo innerhalb der Ladungsverteilung platzieren. Betonung auf irgendwo , weil mit dem Ursprung höchstens ein Abstand wackelt d wird sich nicht viel ändern

| r | − 1 ≈ | r + d | − 1 zum  d ≪ r
Sie können den Ursprung, auch bekannt als die Quelle des Monopolfelds, irgendwo im Inneren platzieren 1 die Ladungsverteilung. Es ist kein Punkt, der von der Theorie diktiert wird. Normalerweise würde man es so wählen, dass höhere Momente verschwinden.

Man kann das Dipolmoment immer verschwinden lassen, indem man den Ursprung in das Ladungszentrum legt.

1 Sie können es außerhalb des (konvexen Kegels um) die Ladungen platzieren, aber dann werden Sie nie höhere Momente zum Verschwinden bekommen.

Sie gehen implizit davon aus, dass das elektrische Feld in ausreichender Entfernung von einer begrenzten Ladungsverteilung perfekt wirdradial, dh jede elektrische Feldlinie würde sich in einem einzigen Punkt treffen, wenn man sie nur geradlinig zurück in die Nachbarschaft der Ladungsverteilung projizieren würde. Aber das ist nicht der Fall; Wenn Sie die Richtung der weit entfernten elektrischen Felder so genau messen könnten, dass Sie sie mit einer Genauigkeit zurück in die Quellregion extrapolieren könnten, die besser ist als die räumliche Verteilung der Quellladung, würden Sie feststellen, dass sie sich nicht genau am selben Punkt schneiden. Die elektrischen Felder an verschiedenen weit entfernten Punkten würden auf leicht unterschiedliche Teile der Ladungsverteilung hinweisen. Wenn Sie sich weiter und weiter entfernen, werden die elektrischen Felder radialer und näher und näher, sodass Sie ihre Richtungen immer genauer kennen müssen, um zu sagen, auf welchen spezifischen Teil der Ladungsverteilung sie ausgerichtet sind.Dipol- statt Monopolbeitrag (der schneller abfällt). Diese Dipoldaten wiederum geben Ihnen mehr Informationen über die Details der Ladungskonfiguration als nur ihre Gesamtladung, die Sie aus dem rein radialen Teil des Felds erhalten.

Ich möchte ein weiteres Beispiel hinzufügen und eine meiner Aussagen in den Kommentaren, die ich zur Frage des OP gemacht habe, verdeutlichen.

Wenn Sie ein quadratisches Blech mit einer Seitenlänge von 1 cm haben. Sie können davon ausgehen, dass sich der Punkt irgendwo in der Nähe des Metalls befindet, wenn Sie eine Meile entfernt sind. Der Punkt ist NICHT der Schwerpunkt. Der Schwerpunkt ist eine rein geometrische Größe. Die Ladungsdichte kann über die Geometrie variieren. Normalerweise erhältst du die Position des Punktes, wenn du die Näherungen auf die exakte Formel anwendest.

Es gibt keinen festen Punkt, aber Sie erhalten den Standort, nachdem Sie die Annäherung angewendet haben. Stellen Sie sich beispielsweise einen Dipol vor, wenn Sie r als Abstand von dem Punkt, an dem Sie die Feldstärke ermitteln möchten, bis zum Mittelpunkt des Dipols verwendet haben. Dann nehmen Sie an, dass die gesamte Ladung von einem weit entfernten Ort im Mittelpunkt des Dipols konzentriert ist.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ihr Interessenpunkt P ist so weit vom Dipol entfernt, dass der Abstand zwischen dem Punkt P und dem Mittelpunkt des Dipols im Wesentlichen gleich dem Abstand zwischen dem Punkt P und der negativen Ladung des Dipols ist.

Die Änderung des Ortes der Punktladung verursacht keine signifikante Änderung der Antwort.

Sie können davon ausgehen, dass sich die Punktladung am Mittelpunkt des Dipols befindet oder an der positiven Ladung oder an der negativen Ladung. Für jeden Punkt, den Sie wählen, wird Ihre Antwort ziemlich genau die gleiche Zahl ergeben. Oft ist die Unsicherheit in unseren Messgeräten viel größer, dass wir den Unterschied nicht bemerken können, indem wir die Position des Punktes ändern. Natürlich können Sie mit Ihrer Annäherung nicht zu weit gehen.

Weit entfernt von einem geladenen Leiter gleicht das Feld einer Punktladung. Wo liegt der Punkt?
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