Was ist die Windungszahl eines magnetischen Monopols und warum bleibt sie erhalten?

Ich wollte meine Antwort auf Ihre ursprüngliche Frage aktualisieren, um Ihnen die erforderlichen zusätzlichen Informationen zu geben. Es ist nur ein wenig technisch und braucht einige Zeit, um alle technischen Details aufzuschreiben.

Eigentlich muss man nur die Funktion aufschreiben:

$\int_{S_2} \mathrm{tr}(\Phi d\Phi \wedge d\Phi)$,

Wo,

$\Phi = \Phi_x \sigma_x + \Phi_y \sigma_y + \Phi_z \sigma_z$, ($\sigma_x , \sigma_y, \sigma_z$sind die Pauli-Matrizen)

ausdrücklich in seinem bevorzugten Koordinatensystem, um seine Bedeutung zu verstehen:

Erste Beobachtung:

Unter Berücksichtigung der Einschränkung, die die beiden Sphären definiert:$\Phi_x ^2+\Phi_y ^2+\Phi_z ^2=1$, (In Matrixschreibweise ist diese Bedingung äquivalent zu$\Phi^2 = I$)

dann ist der Integrand nur das Flächenelement der (Higgs-Vakuum) Zweisphäre.

Zweite Beobachtung:

Betrachten Sie die beiden Formen:

$\omega = \mathrm{tr}(\Phi d\Phi \wedge d\Phi)$.

Es ist leicht zu überprüfen, ob es geschlossen ist:

$d\omega =\mathrm{tr}(d\Phi \wedge d\Phi \wedge d\Phi)= 0$(durch die Antisymmetrie des Keilprodukts)

Aber es kann nicht genau sein, sonst wäre die Fläche der beiden Kugeln nach dem Stokes-Theorem Null gewesen.

Dritte Beobachtung:

Die Variation dieser Form (in Bezug auf jede Störung) ist exakt:

$\delta \omega = d \mathrm{tr}(\delta \Phi \Phi d\Phi)$

(Bitte beachten Sie, dass man die Bedingung verwenden muss:$\Phi^2 = I \rightarrow \Phi \delta \Phi +\delta \Phi \Phi = 0$)

Erste Schlussfolgerung: Diese Form ändert sich nicht unter einer infinitesimalen Variation der Felder. Da jede kontinuierliche Karte aus einer Reihe infinitesimaler Karten aufgebaut werden kann, ändert sich diese Form bei einer kontinuierlichen Verformung der Karte nicht$\Phi$. Es handelt sich also um eine topologische Invariante.

Zweite Schlussfolgerung: Betrachten Sie bitte das Flächenelement in Kugelkoordinaten:$\omega = sin\theta d\theta d\phi$und betrachte die Karte$\theta \rightarrow \theta$,$\phi \rightarrow N \phi$, Offensichtlich windet diese Abbildung die Kugel N-mal und es ist nicht schwer zu überprüfen, dass das Integral gleich N ist. Dies ist der Grund für den Namen Windungszahl. In meiner Antwort auf Ihre erste Frage wurde eine andere Kartenfamilie mit willkürlichen Wicklungszahlen angegeben.

Die Windungszahl eines magnetischen Monopols ist 7 in 4D. Sie ist sowohl in der Spurweite SU(2) als auch in der Spurweite SU(3) farbabhängig erhalten. Es schließt ein algorithmisches Zeichen sowohl für gamma_mu als auch für gamma_nu in der Dirac-Gleichung aus. „Beide Anschlüsse sind „linkshändig“.