Ein grafischer Beweis, dass der SU(2)/Z2SU(2)/Z2SU(2)/\mathbb{Z}_2-Wirbel nicht orientierbar ist

I) Ref.-Nr. 1 verwendet den Begriff orientierbarer Wirbel in einer spezifischen Situation, ohne eine allgemeine Definition anzubieten. In der konkreten Situation jedoch Ref. 1 betrachtet zwei Fälle:

1. Die Wirbel sind mit additiven Quantenzahlen gekennzeichnet

   $$n~\in~\mathbb{Z}.$$ ($n=0$entspricht keinem Wirbel.) Da das Vorzeichen von$n$physikalisch sinnvoll, Ref. 1 nennt die Wirbel orientierbar.

2. Die Wirbel sind mit additiven Quantenzahlen gekennzeichnet

   $$n~\in~ \mathbb{Z} \text{ mod } 2 ~\cong~\{0,1\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$ ($n=0\text{ mod } 2$entspricht keinem Wirbel.) Da das Vorzeichen von$n$macht keinen physikalischen Sinn, Ref. 1 nennt die Wirbel nicht orientierbar.

Wie Ref. 1 am Ende von Kapitel 2 "schließt" dies aus

[...] es magnetische Monopole geben muss ,

Es sollte wahrscheinlich nicht als mathematischer Beweis gelesen werden, sondern lediglich als Appetitanreger/Werbung für das nächste Kapitel 3 mit dem Titel „ Magnetische Monopole“, in dem der Mechanismus erklärt wird.

II) Lassen Sie uns Kapitel 3 hier kurz zusammenfassen, soweit es der Platz zulässt. Betrachten Sie klassische statische Lösungen für a$SU(2)$Yang-Mills-Theorie in 3+1-Dimensionen im zeitlichen Maßstab$A^a_0=0$, und mit einem Higgs-Feld$\phi^{\alpha}$Verwandlung in ein$SU(2)$ irrep $R:G\to GL(2I+1,\mathbb{F})$. Das Higgs-Feld$\phi^{\alpha}$hat$2I+1$Komponenten, wo$\alpha=1, \ldots, 2I+1$. Lassen Sie uns anrufen$I=\frac{1}{2}\mathbb{N}_0$für den Isospin. Das Eichpotential$A_i^a$transformiert in die adjungierte Darstellung$Ad$, dh es ist$su(2)$-geschätzt. Hier$i=1,2,3$ist ein räumlicher Index, und$a=1,2,3$ist ein Lie-Algebra-Index. Es gibt auch ein mexikanisches Hutpotenzial für die Higgs, um einen VEV ungleich Null sicherzustellen. Das$|D\phi|^2$muss asymptotisch verschwinden, um endliche Energie zu haben, die wiederum das asymptotische Verhalten des Eichpotentials stark miteinander verbindet$A_i^a$und das Higgs-Feld$\phi^{\alpha}$.

Wir identifizieren$eI_3$als Erzeuger elektrischer Ladung. Wir werden nur die Felder in der asymptotischen Region weit weg vom Kern analysieren.

III) Fall von halbzahligem Isospin irreps. Die irrep$R$ist komplex und treu . Die minimale elektrische Ladung ungleich Null für halbzahlige irreps ist$|e|/2$. Die Dirac-Quantisierungsbedingung besagt, dass die magnetische Ladung ein Vielfaches von sein muss

$$\tag{A} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|/2}~=~\frac{4\pi}{|e|}.$$

Als nächstes macht der Higgs-Mechanismus das volle Spurpotential massiv und bricht jegliche Spursymmetrie

$$\tag{B} G~=~SU(2)~\to~ H~=~\{\bf 1\}$$

Es gibt keine Monopole

$$\tag{C} \pi_2(G/H)~\cong~ \{\bf 1\},$$

vgl. zB dieser Mathoverflow-Beitrag. Wir werden diesen Fall daher in dieser Antwort nicht weiter diskutieren.

IV) Fall von Integer-Isospin-Irreps. Die irrep$R$ist real, dh das Higgs$\phi^{\alpha}\in \mathbb{R}$ist realwertig. Der Kern des irrep$R$ist

$$\tag{D} {\rm Ker}(R)~\cong~\{\pm {\bf 1}\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$

Die minimale elektrische Ladung ungleich Null für ganzzahlige Irreps ist$|e|$. Die Dirac-Quantisierungsbedingung besagt, dass die magnetische Ladung ein Vielfaches von sein muss

$$\tag{E} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|}.$$

Beachten Sie, dass das Zentrum von$SU(2)$ist

$$\tag{F} Z(SU(2))~=~{\rm Ker}(Ad)~\cong~\mathbb{Z}_2.$$

Dies bedeutet, dass zweiwertige Eichtransformationen$\pm g\in SU(2)$haben eine wohldefinierte Gruppenwirkung auf das Eichpotential$A_i^a$sowie auf dem Higgs-Feld$\phi^{\alpha}$in der ganzen Zahl irrep$R$. Die Messgerätgruppe ist also effektiv$^1$

$$\tag{G} SU(2)/\mathbb{Z}_2~\cong~ SO(3)~=~G,$$

und davon gehen wir ab sofort aus.

Jetzt abgesehen von der zentralen Region$C\subset \mathbb{R}^3$Wo sich mögliche magnetische Monopole befinden, können wir den Rest des Weltraums abdecken$\mathbb{R}^3\backslash C$mit einer „Nord“- und einer „Süd“-Koordinatenkarte, mit einem Nord- und einem Südpegelpotential,$A_{(N)i}^a$und$A_{(S)i}^a$, beziehungsweise. Die Pegeltransformation zwischen den beiden Diagrammen in der äquatorialen Überlappung (was der Homotopie entspricht$S^1$) charakterisiert (die asymptotischen Merkmale von) die physikalische Multi-Monopol-Konfiguration. Topologisch ist die äquatoriale Spurtransformation eine Karte$S^1\to G$, und klassifiziert nach der Fundamentalgruppe$\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.

V) Als nächstes wird angenommen, dass Higgs die Eichsymmetrie bricht

$$\tag{H} G~=~SO(3)~\to~ H~=~U(1),$$

also nur ein abelsches Eichpotential$A^3_i$bleibt masselos. [Wir nehmen Isospin an$I\neq 0$. Zum$I=1$die Isotropiegruppe$H=U(1)$ist automatisch. Für einen höheren ganzzahligen Isospin gilt:$H=U(1)$passiert nur für spezielle VEVs mit erhöhter Symmetrie, während$H=\{\bf 1\}$ist generisch: Es gibt keine Monopole$\pi_2(G/H)\cong \{\bf 1\}$für generische VEVs.] Topologisch ist die äquatoriale Pegeltransformation dann eine Karte$S^1\to H$, und klassifiziert nach der Fundamentalgruppe$\pi_1(H)=\mathbb{Z}$. Ohne Hintergrundwirbel werden die möglichen Konfigurationen des Higgs klassifiziert nach

$$\tag{I} 2\mathbb{Z}~\cong~\pi_2(G/H)~\cong~ {\rm Ker}\left(\pi_1(H)\to \pi_1(G)\right) ~\subseteq~ \pi_1(H)~\cong~\mathbb{Z},$$

vgl. Ref. 2. Also nur gerade Vielfache der magnetischen Ladung in Gl. (E) ist möglich. In dem 2+1-dimensionalen Bild aus Kapitel 2 erlauben wir ganzzahlige Wirbel im Hintergrund$x^3$-Richtung, die nicht gezwungen sind, im geraden Teil von Gl. (ICH).

Um mit Kapitel 2 in Kontakt zu treten, beachten Sie, dass Kapitel 2 klassische statische Lösungen für a betrachtet$U(1)$Yang-Mills-Theorie (auch bekannt als EM ) in 2+1-Dimensionen im zeitlichen Maßstab$A^3_0=0$, und mit einem Komplex$^2$Higgs-Skalar$\phi^3$. Die Felder sind unabhängig von der$x^3$-Richtung. Insbesondere die 2-dimensionale$A^3_i$-Wirbel (2.6) sollte mit einer äquatorialen Röhrenkarte im 3-dimensionalen Bild identifiziert werden. Wirbel können als dicke eindimensionale Saiten angesehen werden, während sich magnetische Monopole eher wie Teilchen verhalten.

Ohne zusätzliche Symmetriebrechung der$U(1)$Symmetrie entspricht das obige Bild den orientierbaren Wirbeln (1) oben.

VI) Schließlich stellen wir uns vor, dass wir zusätzlich brechen

$$\tag{J} U(1)~\to~ \{\bf 1\}.$$

Dann verschwinden die magnetischen Monopole$\pi_2(G/\{\bf 1\})\cong \{\bf 1\}$, und die Wirbel werden zu den nicht orientierbaren Wirbeln (2) oben, vgl.$\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.

Abhängig von den Energieskalen für die beiden Symmetriebrüche könnten die orientierbaren Wirbel (1) quasi-stabil sein, bevor sie in die stabilen nicht-orientierbaren Wirbel (2) zerfallen, dh zwei Wirbel können brechen, vgl. Abb. 2.7 und Abb. 2.8. Die Überreste der beiden Wirbel bilden zwei quasistabile magnetische Monopole, die einen Nettozufluss bzw. -abfluss von magnetischem Fluss aufweisen.

Verweise:

1. G. 't Hooft und F. Bruckmann, Monopoles, Instantons and Confinement, arXiv:hep-th/0010225 .

2. FA Bais, Sein oder Nichtsein? Magnetische Monopole in nicht-abelschen Eichtheorien, arXiv:hep-th/0407197 . (Huttipp: Jäger .)

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$^1$Später in Abschnitt 3.6 wird fermionische Materie eingeführt, die sich in das Fundamental von umwandelt$SU(2)$, und die daher zwischen unterscheidet$SO(3)$und$SU(2)$.

$^2$Zum Vergleich mit Kapitel 3, das dauert$\phi^{\alpha}$als echtes Feld wählen wir$\phi^3$ein reelles Feld sein, vgl. Fußnote auf S. 15, alias. einheitliche Spurweite.