Verwenden der kovarianten Ableitung, um die Kraft zwischen den magnetischen Monopolen von 't Hooft-Polyakov zu finden

Question

Verwenden der kovarianten Ableitung, um die Kraft zwischen den magnetischen Monopolen von 't Hooft-Polyakov zu finden

Physik
Eichtheorie
magnetische Monopole
Quantenfeldtheorie
Topologische-Feld-Theorie

Benutzer7757

Ich lese gerade dieses von NS Manton verfasste Forschungspapier über die Macht zwischen 't Hooft-Polyakov-Monopolen . Ich habe Zweifel an den Gleichungen 3.6 und 3.7. Wir nehmen das Eichfeld für einen langsam beschleunigenden Monopol an $A_0 = \epsilon^2 a_i t A_1$ , Wo $\epsilon^2$ ist ein Infinitesimal. Außerdem schreiben wir $\partial_0 \phi = -\epsilon^2 a_i t \partial_i \phi$ . Mit dieser schreibt er $D_0\phi=-\epsilon^2 a_i t D_i \phi$ , Wo $D_i\phi=\partial_i \phi + [A_i,\phi]$ . Ist das Vorzeichen des zweiten Terms nicht falsch?

Zweitens sagt er, dass die Differenzierung bzgl. t uns gibt, $D^0 D_0 \phi = \epsilon^2 a_i D_i \phi$ . Sollte es nicht sein $\partial^0D_0 \phi$ ? Weil wir die tatsächliche Ableitung bzgl. t nehmen und nicht die kovariante Ableitung, sollten WIR einige zusätzliche Terme bekommen, heben sie sich auf? Wie verschwindet das Minuszeichen?

Verhält sich die kovariante Ableitung in jedem Fall wie eine normale Ableitung?

Benutzer7757

OK. Ich habe verstanden, wie das Minuszeichen verschwindet, er hat anscheinend die metrische Signatur als -+++ angenommen

QMechaniker

Mir gefällt, wie der Nachname von 't Hooft in der Frage (v1) zu zwei Hooft wird.

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Verwenden der kovarianten Ableitung, um die Kraft zwischen den magnetischen Monopolen von 't Hooft-Polyakov zu finden

OK. Ich habe verstanden, wie das Minuszeichen verschwindet, er hat anscheinend die metrische Signatur als -+++ angenommen
Mir gefällt, wie der Nachname von 't Hooft in der Frage (v1) zu zwei Hooft wird.

Ron Maimon · Answer 1

Ron Maimon

Das Vorzeichen des Eichteils der kovarianten Ableitung ist eine Konvention, Sie können es beliebig wählen, es definiert nur das Vorzeichen von A. Dieses Vorzeichen hat nichts mit der metrischen Konvention zu tun, meistens + oder meistens -. Es ist in beiden Konventionen willkürlich.

Der zweite Teil ist nur das Differenzieren beider Seiten der vorherigen Gleichung für $D_0\phi$ , da ist auf der rechten Seite. So ist es $\partial_0 (t D_0 \phi)$ , da A_0 infinitesimal ist und eine Korrektur höherer Ordnung ergibt, und er behält den ersten Teil davon, wo Sie t in Bezug auf t differenzieren, und ignoriert den zweiten Teil, da Zeitableitungen von $\phi$ sind klein unter der Annahme, dass der Monopol bei t = 0 stationär ist und langsam beschleunigt.

Benutzer7757

Hey, vielen Dank für die Antwort, aber in der Definition der kovarianten Ableitung hat er ein Pluszeichen genommen, also ist seine kovariante Ableitung

D_{μ} ϕ = \partial_{μ} ϕ + [A_{μ}, ϕ]

$D_\mu \phi = \partial_\mu \phi+ [A_\mu,\phi]$ . Siehe Gleichung 2.3. In Bezug auf meinen Kommentar meinte ich, ich habe das Vorzeichenproblem für gelöst

D^{0} D_{0}

$D^0 D_0$ wobei das negative Vorzeichen verschwindet, weil wir die kontravarianten Indizes nehmen.

Ron Maimon

@ramanujan_dirac: Ich konnte nicht nachvollziehen, welches Zeichen dir Probleme bereitet hat. Ich kann nicht auf das Papier zugreifen (es ist Paywall). Schade, denn es ist ein Klassiker, den ich nicht gelesen habe.

Benutzer7757

Manton definiert

D_{μ} ϕ = \partial_{μ} ϕ + e [A_{μ}, ϕ]

$D_\mu \phi = \partial_\mu \phi + e[A_\mu,\phi]$ , Und

A_{0} = ϵ^{2} a_{i} t A_{i}

$A_0=\epsilon^2 a_i t A_i$ , Und

\partial_{0} ϕ = ϵ^{2} a_{i} t \partial_{i} ϕ

$\partial_0 \phi = \epsilon^2 a_i t \partial_i \phi$ , dann wie ist

D_{0} ϕ = - ϵ^{2} a_{i} t D_{i} ϕ

$D_0 \phi = -\epsilon^2 a_i t D_i \phi$ ? Gibt es eine Lösung für diesen Zweifel oder gibt es einen Tippfehler in der Arbeit (Dies ist die erste Forschungsarbeit, die ich gelesen habe, daher weiß ich nicht, wie häufig Tippfehler vorkommen).

Ron Maimon

@ramanujan_dirac: In klassischen Arbeiten ist es verschwindend selten, dass es Tippfehler gibt, die das Ergebnis wesentlich beeinflussen, aber es gibt gelegentlich kleinere Tippfehler (vielleicht 1 eqn in 500). Aber um es zu verstehen, können Sie einfach so tun, als wäre es voller Tippfehler und Sie lesen es Korrektur. Eine Forschungsarbeit hinterlässt Erleichterungsschritte, die für den Autor und den Leser offensichtlich sind, hier geht es zwischen der zeitkovarianten Ableitung und der zeitüblichen Ableitung hin und her. Dies ist ein Term höherer Ordnung in der Beschleunigung, da

A_{0}

$A_0$ ist infinitesimal für infinitesimal a.

Benutzer7757

Anscheinend gibt es einen Fehler in diesem Papier, ich konnte es nicht vollständig verstehen (es hängt mit der Glätte von elliptischen Funktionen zusammen, die einige Funktionen für die Beschleunigungs- und Spurweitenfelder oder so etwas erfordern), auf die hier hingewiesen wurde: prd.aps . org/abstract/PRD/v18/i2/p542_1

Benutzer7757

Selbst wenn dies weggelassen wird, ergibt das Papier für mich keinen physikalischen Sinn, und ich war nicht in der Lage, die physikalische Essenz des Arguments zu verstehen, es stützt sich vollständig auf die Tatsache, dass es eine globale Funktion geben sollte, die in a definiert ist besondere Weise, die sich auf die Versionen dieser Funktionen reduzieren sollte, die jeweils unabhängig voneinander an jedem der Monopole (oder Antimonopole) definiert sind.

Ron Maimon

@ramanujan_dirac: Da ist sicher kein Fehler, du hast es nur nicht verstanden. Es ist üblich, dass Leute Papiere nicht verstehen und "Fehler" erfinden, die nicht existieren (obwohl ich es, wie gesagt, nicht gelesen habe, ich weiß, dass dieses Papier einer von mehreren Klassikern ist, die zu BPS und S -Dualität). Die Kraft zwischen Monopolen wurde immer wieder berechnet und neu berechnet, das Papier ist klassisch, und es ist wichtig in der S-Dualität der N = 4-Eichtheorie. Sie haben sich nur noch nicht daran gewöhnt, Papiere zu lesen, es erfordert, dass Sie die meisten Ergebnisse selbst reproduzieren.

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