Phasenstruktur der (Quanten-) Eichtheorie

Frage : Wie lässt sich die Phasenstruktur der (Quanten-)Eichtheorie klassifizieren/charakterisieren ?

Eichtheorie (sagen wir mit einer Eichgruppe$G_g$) ist ein mächtiges Werkzeug der Quantenfeldtheorie (QFT) zur Beschreibung der Vielteilchen-Quantennatur (weil QFT natürlich zum Verständnis des Vielteilchen-Quantenproblems mit (Quasi-)Teilchenerzeugung/-vernichtung dient).

Die Klassifizierung der Eichtheorie soll etwas Tiefgründiges sein, in dem Sinne, dass Eichfelder (p-Form$A_\mu$,$B_{\mu\nu}$, oder Verbindungen von$G_g$-Bündel usw.) sind nur Vermittler, die die Wechselwirkungen zwischen Materiefeldern (Fermion$\psi$, Boson$\phi$). Somit können wir effektiv die Materiefelder "herausintegrieren" oder "glätten", um eine effektive Eichtheorie zu erhalten, die rein durch Eichfelder beschrieben wird ($A_\mu$,$B_{\mu\nu}$, etc).

Die Charakterisierung der Eichtheorie sollte sich NICHT einfach auf ihre Eichgruppe stützen$G_g$, aufgrund von "Gauge-Symmetrie ist keine Symmetrie" . Wir sollten (seine unterschiedlichen oder gleichen Phasen) nicht NUR durch die Eichgruppe klassifizieren oder (seine Eigenschaften) charakterisieren$G_g$. Was mir beigebracht wurde, ist, dass einige bekannte Begriffe zur Beschreibung der Phasenstruktur von (Quanten-) Eichtheorien sind:

(1) eingesperrt oder nicht eingesperrt

(2) lückenhaft oder lückenlos

(3) Higgs-Phase

(4) Coulomb-Phase

(5) topologisch oder nicht.

(6) schwache Kopplung oder starke Kopplung

Unterfrage A. : Reicht diese Liste oben (1)-(6) irgendwie aus, um die Phasenstruktur der Eichtheorie zu behandeln? Nach welchen anderen wichtigen Eigenschaften wird gesucht, um die Phasenstruktur der Eichtheorie zu klassifizieren/charakterisieren? Wie Verstrickung? Wie?

(z.B. in der 2+1D lückenhaften deconfinierten topologischen Eichtheorie mit schwacher Kopplung mit endlicher Grundzustandsentartung auf der$\mathbb{T}^2$Torus beschreibt alle, die durch Flechtstatistiken klassifiziert/charakterisiert werden können$S$Matrix (Gegenseitige Statistik) und$T$(topologische Spin-)Matrix.)

Teilfrage B. : Sind diese Eigenschaften (1)-(6) irgendwie verwandt statt unabhängig voneinander?

Es scheint mir, dass die Begrenzung von Eichfeldern impliziert, dass die Materiefelder Lücken aufweisen ? Wie 3+1D Non-Abelian Yang-Mills bei IR niedriger Energie hat Confinement , dann haben wir die Existenz von Yang-Mills (YM) des Millennium-Preises und Massenlücken - induzierte Lückenmasse$\Delta>0$für das masseärmste Teilchen beides (?) für das Materiefeld oder die Eichfelder (Glueball?). Also Beschränkung und klaffende Masse$\Delta>0$sind für die 3+1D-YM-Theorie verwandt. Intuitiv dachte ich an Gefangenschaft$\leftrightarrow$Lücke , Dekonfinierung$\leftrightarrow$lückenlos .

In 2+1D studieren die Menschen jedoch kondensierte Materie$Z_2$, U(1) Spin-Flüssigkeiten, eine bestimmte Art von 2+1D-Eichtheorie, man muss sich vielleicht fragen, ob es (1) begrenzt oder nicht begrenzt, (2) lückenhaft oder lückenlos ist, separate Themen. Im 2 + 1D-Fall kann das Deconfined also mit Lücken versehen werden ? die begrenzte kann lückenlos sein? Warum ist das so? Sollte man das Argument der Renormalisierungsgruppe (RG) von Polyakov verwenden? Wie wirkt sich der 2+1D/3+1D RG-Fluss unterschiedlich auf diese (1) begrenzten oder nicht begrenzten, (2) lückenhaften oder lückenlosen, getrennten Probleme aus?

Unterfrage C .: Gibt es bekannte mathematische Objekte zur Klassifizierung der Eichtheorie ?

vielleicht, sagen wir, anders als/jenseits der kürzlich vertrauteren Gruppenkohomologie : entweder topologische Gruppenkohomologie$H^{d+1}(BG_g,U(1))$Klassifikationsraum verwenden$BG_g$von$G_g$, oder Borel-Gruppenkohomologie$\mathcal{H}^{d+1}(G_g,U(1))$kürzlich in SPT und topologischer Eichtheorie und Dijkgraaf-Witten studiert ?