Wie kann man die Grundzustandsentartung (GSD) aus einer BFBFBF-Theorie in 2+12+12+1 ddd sehen?

Question

Wie kann man die Grundzustandsentartung (GSD) aus einer BFBFBF-Theorie in 2+12+12+1 ddd sehen?

Physik
Eichtheorie
kondensierte Materie
topologische Ordnung
Quantenfeldtheorie
Topologische-Feld-Theorie

Benutzer21090

Das habe ich schon oft gesehen $BF$ Die Theorie hat eine nicht triviale Grundzustandsentartung (typischerweise auf Torus), aber ich kann nicht sehen, wie die Schlussfolgerung herauskommt. Kürzlich fand ich eine Arbeit von Hansson, Oganesyan und Sondhi, Supraleiter sind topologisch geordnet, in der der Supraleiter durch eine Maxwell- $BF$ Theorie. Sie haben einen Abschnitt der GSD in a $BF$ Theorie ein $2+1$ $d$ . Aber eigentlich habe ich noch Fragen, um es zu verstehen.

Der $BF$ Theorie ein $2+1$ $d$ ist durch die Handlung gegeben

S = \frac{1}{π} \int D^{3} X ϵ^{μ v σ} B_{μ} \partial_{v} A_{σ}, (1)

$S = \frac{1}{\pi} \int d^3 x \epsilon^{\mu \nu \sigma} b_{\mu} \partial_{\nu} a_{\sigma}, \qquad (1)$ Wo

a_{μ}

$a_{\mu}$ Und

b_{μ}

$b_{\mu}$ Sind

U (1)

$U(1)$ Messfelder.

μ, ν, σ = 0, x, y

$\mu,\nu,\sigma = 0,x,y$ .

Arbeiten an $2$ -torous, wie im Abschnitt IV.A in Hanssons Papier, die $BF$ Theorie kann in Form geschrieben werden

S = \frac{1}{π} \int D^{3} X [ϵ^{ich J} {\dot{A}}_{ich} B_{J} + A_{0} ϵ^{ich J} \partial_{ich} B_{J} + B_{0} ϵ^{ich J} \partial_{ich} A_{J}],

$S = \frac{1}{\pi}\int d^3x[\epsilon^{ij} \dot{a}_i b_j+ a_0 \epsilon^{ij} \partial_i b_j + b_0 \epsilon^{ij} \partial_i a_j],$ Wo

\dot{a} = \partial_{0} a

$\dot{a} = \partial_0 a$ Und

i, j = x, y

$i,j = x,y$ . Sie interpretieren

a_{0}

$a_0$ Und

b_{0}

$b_0$ sind Multiplikatoren für Einschränkungen

ϵ^{i j} \partial_{i} b_{j} = 0

$\epsilon^{ij} \partial_i b_j = 0$ Und

ϵ^{i j} \partial_{i} a_{j} = 0

$\epsilon^{ij} \partial_i a_j = 0$ . Beim Einsetzen

a_{i} = \partial_{i} Λ_{a} + {\bar{a}}_{i} / L

$a_i = \partial_i \Lambda_a + \bar{a}_i/L$ Und

b_{i} = \partial_{i} Λ_{b} + {\bar{b}}_{i} / L

$b_i = \partial_i \Lambda_b + \bar{b}_i/L$ , Wo

Λ_{a / b}

$\Lambda_{a/b}$ sind periodische Funktionen auf dem Torus,

\bar{a_{i}}

$\bar{a_i}$ Und

\bar{b_{i}}

$\bar{b_i}$ räumlich konstant sind,

L

$L$ bezeichnet die Größe des Systems, die oben

B F

$BF$ Theorie reduziert sich auf

S = \frac{1}{π} \int D^{3} X ϵ^{ich J} {\dot{\bar{A}}}_{ich} {\bar{B}}_{J} . (2)

$S = \frac{1}{\pi}\int d^3 x \epsilon^{ij} \dot{\bar{a}}_i \bar{b}_j. \qquad (2)$

Dann sagen sie, aus Gleichung (2) kann man die Kommutierungsbeziehung erhalten ( Gleichung (38) in ihrer Arbeit)

[{\bar{A}}_{X}, \frac{1}{π} {\bar{B}}_{j}] = ich, [{\bar{A}}_{j}, - \frac{1}{π} {\bar{B}}_{X}] = ich . (3)

$[\bar{a}_x, \frac{1}{\pi}\bar{b}_y] = i, \quad [\bar{a}_y,-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x] = i. \qquad (3)$

Außerdem ergibt sich aus den Vertauschungsbeziehungen Gl. (3), kann man haben ( Gl. (39) in ihrer Arbeit)

A_{X} B_{j} + B_{j} A_{X} = 0, A_{j} B_{X} + B_{X} A_{j} = 0, (4)

$A_x B_y + B_y A_x = 0, \quad A_y B_x + B_x A_y = 0, \qquad (4)$ Wo

A_{i} = e^{i {\bar{a}}_{i}}

$A_i = e^{i\bar{a}_i}$ Und

B_{i} = e^{i {\bar{b}}_{i}}

$B_i = e^{i\bar{b}_i}$ . Sie behaupten, dass die Beziehungen Gl. (4) bezeichnet a

2 \times 2 = 4

$2\times2 = 4$ -Fold GSD und "

B_{i}

$B_i$ kann entweder als Messung der interpretiert werden

b

$b$ -Flussmittel oder Einfügen einer

a

$a$ -Fluss."

Es gibt mehrere Punkte, die ich nicht verstehe.

Wie bekomme ich Kommunikationsbeziehungen Gl. (3) aus der Wirkung Gl. (2)?
Warum Beziehungen Gl. (4) zeigen a $4$ -GSD falten?
Wie soll ich die Aussage verstehen " $B_i$ kann entweder als Messung der interpretiert werden $b$ -Flussmittel oder Einfügen einer $a$ -Fluss."?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einige Hinweise geben oder mir einige relevante Referenzen vorschlagen könnte.

Antworten (1)

Wie kann man die Grundzustandsentartung (GSD) aus einer BFBFBF-Theorie in 2+12+12+1 ddd sehen?

Everett Du · Answer 1

Eine kleine Anmerkung zuerst: Normalerweise wird diese Theorie als Chern-Simons-Theorie in (2+1)d bezeichnet, während sich die BF-Theorie normalerweise auf eine ähnliche Theorie in (3+1)d bezieht. Aber wie auch immer, diese Benennung ist nicht wichtig. Die U(1)-Chern-Simons-Theorie in (2+1)d wird immer in folgender allgemeiner Form formuliert

S = \int \frac{ich}{4 π} K^{ICH J} A^{ICH} \land D A^{J} .

$S=\int\frac{\mathrm{i}}{4\pi}K^{IJ} a^I\wedge \mathrm{d}a^J.$ Die Aktion in Ihrer Gl. (1) entspricht dem Folgenden

K

$K$ Matrix

K = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}],

$K=\left[\begin{matrix}0&2\\2&0\end{matrix}\right],$ was sehr berühmt ist

K

$K$ Matrix, die dem entspricht

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ Toric-Code topologische Ordnung (bzw

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ Eichtheorie). Die Niedrigenergie-Effektivtheorie für einen vollständig mit Lücken versehenen Supraleiter ist a

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ Eichtheorie, einfach weil die Kondensation des Ladung-2-Cooper-Paares die U(1)-Eichstruktur zu Higgsed hat

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ . Dies ist äquivalent (und wahrscheinlich besser), um zu sagen, dass der Supraleiter auftritt

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ Topologische Ordnung.

In Bezug auf Ihre technischen Fragen würde ich die Originalarbeit von Wen und Zee (cond-mat/9711223) über die topologische Grundzustandsentartung der Chern-Simons-Theorie oder Abschnitt 8.2.1 von Wens Buch empfehlen. Ihre letzte Frage bezieht sich auf das Toric-Code-Modell von Kitaev , für das ich Kitaevs Originalarbeit (cond-mat/0506438) vorschlagen würde .

Lassen Sie mich versuchen, Ihre Fragen kurz zu beantworten.

Aus Gleichung (2) kennen wir die Lagrange-Funktion $L=\frac{1}{\pi}(\dot{\bar{a}}_x\bar{b}_y-\dot{\bar{a}}_y\bar{b}_x)$ , nach klassischer Mechanik, die konjugierten Impulse von $\bar{a}_x$ Und $\bar{a}_y$ Sind
$P_{{\bar{A}}_{X}} = \frac{\partial L}{\partial ({\dot{\bar{A}}}_{X})} = \frac{1}{π} {\bar{B}}_{j}, P_{{\bar{A}}_{j}} = \frac{\partial L}{\partial ({\dot{\bar{A}}}_{j})} = - \frac{1}{π} {\bar{B}}_{X} .$ $p_{\bar{a}_x}=\frac{\partial L}{\partial(\dot{\bar{a}}_x)}=\frac{1}{\pi}\bar{b}_y,\quad p_{\bar{a}_y}=\frac{\partial L}{\partial(\dot{\bar{a}}_y)}=-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x.$ Durch kanonische Quantisierung ( $[q,p]=\mathrm{i}$ in der Quantenmechanik) folgt Gl.(3) einfach aus $[{\bar{A}}_{X}, P_{{\bar{A}}_{X}}] = [{\bar{A}}_{X}, \frac{1}{π} {\bar{B}}_{j}] = ich, [{\bar{A}}_{j}, P_{{\bar{A}}_{j}}] = [{\bar{A}}_{j}, - \frac{1}{π} {\bar{B}}_{X}] = ich .$ $[\bar{a}_x,p_{\bar{a}_x}]=[\bar{a}_x,\frac{1}{\pi}\bar{b}_y]=\mathrm{i},\quad [\bar{a}_y,p_{\bar{a}_y}]=[\bar{a}_y,-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x]=\mathrm{i}.$
Um die Grundzustandsentartung entlang dieser Linie zu berechnen, muss man wissen, dass die Eichfelder $a$ Und $b$ sind beide kompakt aufgrund der Tatsache, dass ihre Eichladungen quantisiert sind (siehe Abschnitt 6.3 von Wens Buch), was bedeutet, dass neben der lokalen Eichtransformation auch die sogenannte große Eichtransformation erlaubt ist. Auf dem Torus schicken die großen Spurwechsel $\bar{a}_i\to\bar{a}_i+2\pi$ Und $\bar{b}_i\to\bar{b}_i+2\pi$ . Eichkonfigurationen, die durch die Eichtransformation in Beziehung stehen, sind nur unterschiedliche Bezeichnungen desselben physikalischen Quantenzustands, sodass die große Eichtransformation tatsächlich die Randbedingung auferlegt $\bar{a}$ Und $\bar{b}$ . Zum Beispiel, $|\bar{a}_x\rangle=|\bar{a}_x+2\pi\rangle$ sind derselbe Zustand. Die quantenmechanische Wellenfunktion unterliegt also der periodischen Randbedingung wie $\psi(\bar{a}_x)=\psi(\bar{a}_x+2\pi)$ , was bedeutet, dass der Schwung $p_{\bar{a}_x}=\frac{1}{\pi}\bar{b}_y$ muss auf eine ganze Zahl quantisiert werden (erinnern Sie sich an die Impulsquantisierungsformel $\frac{2\pi n}{L}$ mit $L=2\pi$ ), dh $\bar{b}_y=n\pi$ (mit $n\in\mathbb{Z}$ ). Allerdings durch die große Spurweite Transformation $|\bar{b}_y\rangle=|\bar{b}_y+2\pi\rangle$ sind auch gleich zustand, so $n=0,1$ kann nur zwei Werte annehmen, was zwei Eigenzuständen von entspricht $\bar{b}_y$ , die einen 2-dim-Hilbert-Raum überspannt. Wiederholen Sie dasselbe Argument für das andere konjugierte Paar $\bar{a}_y$ Und $\bar{b}_x$ , kann man einen weiteren 2-dim-Hilbert-Raum finden. Schließlich ist der Hilbert-Raum der Grundzustände einfach das direkte Produkt der beiden 2-dim-Hilbert-Räume, die insgesamt 4 Zustände enthalten, daher die 4-fache GSD.
Sie können die Aussage genauso verstehen, wie Sie die folgende Aussage in der Quantenmechanik verstehen: den Impulsoperator $p$ misst den Impuls eines Teilchens und erzeugt auch die Koordinatentranslation. Jeder quantenmechanische Operator hat zwei Wirkungen: Messen und Operieren. Wenn es den Impuls misst, muss es auch die Koordinate bedienen (oder ändern). Nun das Verhältnis zwischen $a$ -Flussmittel und $b$ -Fluss ist genau wie die Beziehung zwischen Koordinate und Impuls, also jeder Operator, der misst $b$ -Fluss muss sich unbedingt ändern $a$ -Fluss (durch Einfügen des Flusses der Ursache) und offensichtlich $B$ ist ein solcher Operator. Im Toric-Code-Modell $A$ Und $B$ werden entlang der Homologiebasis auch als Schleifenoperator bezeichnet, der eine klarere geometrische und physikalische Bedeutung hat. Weitere Informationen zur Schleifenalgebra finden Sie in der Arbeit (1208.4834) von Barkeshli, Jian und Qi oder in der Arbeit (1208.4109) von You, Jian und Wen.

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Benutzer21090

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Everett Du

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