Große Umformung und Kreuzungsform

Question

Große Umformung und Kreuzungsform

Physik
Eichtheorie
kondensierte Materie
Algebraische Topologie
Topologische-Feld-Theorie

PhysikMath

Ich lese dieses Papier und auf den Seiten 19-20 wird die folgende Beziehung zwischen der großen Spurtransformation und der Schnittform angegeben: für die Wirkung auf eine 4-Mannigfaltigkeit $M^4$

S [A, B] = \int_{M^{4}} \sum_{ICH = 1}^{S} \frac{N_{ICH}}{2 π} B^{ICH} \land D A^{ICH} + \sum_{ICH, J = 1}^{S} \frac{P_{ICH J} N_{ICH} N_{J}}{4 π N_{ICH J}} B^{ICH} \land B^{J}

$S[A,B] = \int_{M^4}{\sum_{I=1}^s{\frac{N_I}{2\pi} B^I \wedge dA^I} + \sum_{I,J=1}^s{\frac{p_{IJ} N_I N_J}{4\pi N_{IJ}} B^I \wedge B^J}}$

Wo $A^I$ Und $B^I$ sind 1- bzw. 2-Formularfelder und $N_{IJ}$ ist der größte gemeinsame Teiler ggT $(N_I,N_J)$ , lautet die Eichtransformation

A^{ICH} \to A^{ICH} + D G^{ICH} - \sum_{J} \frac{P_{ICH J} N_{J} η^{J}}{N_{ICH J}} B^{ICH} \to B^{ICH} + D η^{ICH}

$A^I \to A^I + dg^I - \sum_J{\frac{p_{IJ}N_J\eta^J}{N_{IJ}}} \qquad B^I \to B^I + d\eta^I$

Wenn die diagonalen Elemente $p_{II}$ und die Ganzzahl $N_I$ sind seltsam, $e^{iS}$ ist unter großen Spurtransformationen nur dann invariant, wenn $M^4$ hat sogar Schnittpunktform.

Ich sehe nicht, wie die Transformationsinvarianz für große Messgeräte die Schnittform erfordert $H^{2}(M^4;\mathbb{Z}) \times H^{2}(M^4;\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$ eben sein. Könnte jemand zur Klärung beitragen?

Antworten (1)

Große Umformung und Kreuzungsform

Elliot Schneider · Answer 1

Nehmen $s=1$ der Einfachheit halber. Dann ist dies eine topologische Feldtheorie eines 1-Form-Eichfeldes $A$ und ein 2-Form-Messfeld $B$ gekoppelt über

S = \frac{N}{2 π} \int_{M} B \land D A + \frac{P N}{4 π} \int_{M} B \land B,

$S = \frac{n}{2\pi} \int_M B \wedge \mathrm{d}A +\frac{pn}{4\pi} \int_M B \wedge B,$

Wo $M$ ist eine geschlossene 4-Mannigfaltigkeit.

Offensichtlich ist die Theorie invariant unter gewöhnlichen Eichtransformationen von $A$ ,

A \to A + D λ,

$A \to A + \mathrm{d}\lambda,$

Wo $[\mathrm{d}\lambda]/2\pi \in H^1(M,\mathbb{Z})$ . Wenn $[\mathrm{d}\lambda]$ ist trivial in der Kohomologie (dh $\lambda$ ist eigentlich eine global definierte Funktion), nennen Sie dies eine kleine Spurtransformation; Wenn es nicht trivial ist, nennen Sie es eine Transformation mit großem Messgerät. Das ist,

\oint_{Σ} \frac{D λ}{2 π} \in Z

$\oint_\Sigma \frac{\mathrm{d}\lambda}{2\pi} \in \mathbb{Z}$ ist null für eine kleine Spurweitentransformation und ungleich null für eine große Spurweitentransformation.

Die Theorie ist auch unter Eichtransformationen der "1-Form" unveränderlich

B \to B + D η A \to A - P η,

$B \to B + \mathrm{d} \eta\\ A \to A - p \eta,$

Wo $\eta$ ist ein 1-Form-Eichfeld (und $p$ muss also eine ganze Zahl sein, damit $A-p \eta$ ist immer noch ein Eichfeld). Unter dieser Transformation wird die Aktion durch deformiert

δ S = \frac{N}{2 π} \int_{M} D η \land D A + \frac{P N}{4 π} \int_{M} D η \land D η,

$\delta S = \frac{n}{2\pi} \int_M \mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d} A + \frac{pn}{4\pi} \int_M \mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d} \eta,$

was anzüglicher geschrieben werden kann als

δ S = 2 π N \int_{M} \frac{D η}{2 π} \land \frac{D A}{2 π} + π P N \int_{M} \frac{D η}{2 π} \land \frac{D η}{2 π} .

$\delta S = 2\pi n \int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} A}{2\pi} + \pi pn \int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} \eta}{2\pi}.$

Die Integrale sind $\mathbb{Z}$ -bewertet, da $A$ Und $\eta$ sind Eichfelder. Für kleine Spurwechsel, $\eta$ global definiert ist, diese Integrale Null sind und die Aktion invariant ist. Einschließlich großer Spurweitentransformationen wird der erste Term das integrale Gewicht des Pfades verlassen $e^{iS}$ Invariante bereitgestellt $n\in \mathbb{Z}$ . Für Generika $M$ Und $n$ , lässt der zweite Term das Pfadintegral invariant vorgesehen $p \in 2 \mathbb{Z}$ . Wie auch immer, wenn $n$ ist dann eben $p$ kann jede ganze Zahl sein. Ebenso, wenn es passiert, dass sich die Kreuzung bildet $M$ gerade ist (was der Fall sein wird, wenn $M$ ist Spin),

\int_{M} \frac{D η}{2 π} \land \frac{D η}{2 π} \in 2 Z,

$\int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} \eta}{2\pi}\in 2\mathbb{Z},$

Dann $p$ kann wieder jede ganze Zahl sein.

Siehe Kapustin, Seiberg Coupling a QFT to a TQFT and Duality Abschnitt 6 für weitere Details (und den Rest des Papiers für eine nette Diskussion dieser Art von $BF$ Theorien).

Woo~Was für eine klare Darstellung! Vielen Dank! Ich habe die Hoffnung fast aufgegeben, nachdem ich 2 Tage lang keine Antwort erhalten habe :)

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Elliot Schneider

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