topologische Verschränkungsentropie für einen punktierten Torus und eine Kugel

In Ermangelung einer Antwort möchte ich versuchen, eine schnelle Antwort zu geben.

Ich bin etwas verwirrt darüber, warum Sie sagen, dass die topologische Verschränkungsentropie (TEE) normalerweise auf Oberflächen mit Grenzen berechnet wird. Sie können, und ich denke, das wird normalerweise gemacht, es auf kompakten Verteilern berechnen. Eine Grenze wird immer vorhanden sein, da Sie eine Zweiteilung der Mannigfaltigkeit vornehmen müssen, um die Verschränkungsentropie (EE) zu berechnen. Wenn Sie tatsächlich eine Mannigfaltigkeit mit Rand berechnet haben, könnten die lückenlosen Freiheitsgrade am Rand einige Probleme beim Extrahieren des TEE verursachen. Lassen Sie mich versuchen, kurz zu beschreiben, was in verschiedenen Situationen passiert.

Angenommen, Sie platzieren ein System mit einer Lücke über dem Grundzustand auf einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit (entweder kompakt oder nicht kompakt ohne Begrenzung).$\mathcal M$, und dann schneiden$\mathcal M$in zwei kontrahierbare Untermannigfaltigkeiten$\mathcal A$Und$\mathcal B$. Angesichts der reduzierten Dichtematrix des Grundzustands im Subsystem$\mathcal A$,$\rho_\mathcal A$(ergeben durch Auslesen der Informationen in$\mathcal B$), ist die Verschränkungsentropie gegeben durch$S_\mathcal A = -\text{tr}\left(\rho_\mathcal A\log\rho_\mathcal A\right)$. Wie von Preskill-Kitaev und Levin-Wen gezeigt (wie Sie zitieren), hat die EE die folgende Form

$$S_\mathcal A = \alpha L_\mathcal A - \gamma + \dots,$$ Wo $\alpha$ist eine nicht universelle Zahl, $L_\mathcal A$ist der Grenzbereich $\partial\mathcal A$, Und ' $\dots$' sind Terme, die in der Grenze verschwinden $L\rightarrow\infty$. Das Konstantenstück, $\gamma$, ist universell und das, was wir TEE nennen. Es wird ausschließlich durch topologische Daten bestimmt $$\gamma = \log\mathcal D =\log\sqrt{\sum_id^2_i},$$ Wo $d_i$ist die Quantendimension der $i$'tes topologisches Quasiteilchen und $\mathcal D$ist die gesamte Quantendimension. Wenn diese Berechnung in der rein topologischen Feldtheoriegrenze im Infraroten durchgeführt wird, wird nur das topologische Stück überleben. Berechnet man stattdessen die Renyi-Entropien, $S^n_\mathcal A = \frac 1{1-n}\log\left({\text{tr}\rho^n_\mathcal A}\right) = \alpha_n L_\mathcal A - \gamma +\dots$, das topologische Stück wird unabhängig von sein $n$und keine neuen Informationen gewonnen.

1. Dies ist alles die Standardgeschichte, wie sie in den von Ihnen zitierten Papieren erwähnt wird. Man könnte fragen, was passiert, wenn die Bipartition nicht kontrahierbar ist? Sagen Sie zum Beispiel$\mathcal M=T^2$ist der 2-Torus und Sie machen einen solchen Schnitt$\mathcal A$ist nicht einfach verbunden (siehe Abbildung 1 von Lit. 1 ). In diesem Fall stellt sich heraus, dass das topologische Stück,$\gamma_n'$, in der Renyi-Entropie $$S^n_\mathcal A = \alpha_nL_\mathcal A - \gamma_n' + \dots,$$ wird außerdem$\gamma = \log\mathcal D$, darauf ankommen$n$und die Koeffizienten$c_j$des Grundzustandes in einer speziellen Basis$|\Phi\rangle = \sum_jc_j|\Theta_j\rangle$. Für die detaillierte Formel siehe Gleichung (2) in Lit. 1 und Gleichung (2.38) von Lit. 2 . Die Basis besagt$|\Theta_i\rangle$werden als Minimum-Entropie-Zustände (MES) bezeichnet, siehe 1 für eine detaillierte Definition.
2. Was passiert nun, wenn$\mathcal M$ist ein punktierter Krümmer? Durch Vorgabe geeigneter Randbedingungen entsprechen diese Einstiche im Wesentlichen Quasi-Teilchen. In diesem Fall berechnen wir also die Verschränkungsentropie in Gegenwart von Anregungen. Hier zeigt sich, dass je nach Partition das Ergebnis von verschiedenen Komponenten der Topologie abhängt$\mathcal S$-Matrix. Das bedeutet, dass wir auf diese Weise viel mehr topologische Informationen der zugrunde liegenden TQFT extrahieren können als nur die gesamte Quantendimension. Einzelheiten finden Sie in Abschnitt 3 von 2 .

---

EDIT: In den Kommentaren stellt Hamurabi die interessante Frage, was in höheren Dimensionen passiert. Lassen Sie mich kurz den Vorschlag von Ref. 4 erwähnen :

Unter bestimmten allgemeinen Annahmen kann man die (von Neumann) EE als Summe zweier Stücke schreiben

$$S_\mathcal A = S_{\mathcal A,local} + S_{\mathcal A,topological},$$

wobei der erste Term von lokalen Informationen des Systems abhängt, während letzterer den globalen, topologischen Teil der Verschränkung kodiert. Sie argumentieren, dass das lokale Stück in der Dimension$D$hat die folgende Erweiterung

$$S_{\mathcal A,local} = \alpha_1L_\mathcal A ^{D-1} + \alpha_3L_\mathcal A^{D-3}+\alpha_5L_\mathcal A^{D-5} + \dots,$$ wo alle $\alpha_i$sind nicht universell. Beachten Sie das in $D$selbst, $S_{\mathcal A,local}$hat kein konstantes Stück und kein konstantes Stück von $S_\mathcal A$muss also topologisch sein (wie in $D=2$). Für $D$seltsam, es kann jedoch ein nicht-topologisches konstantes Stück geben und es daher ein wenig schwieriger machen, es zu extrahieren $S_{\mathcal A,topological}$. Sie schlagen die folgende allgemeine Form des TEE vor (und überprüfen sie in mehreren Beispielen).

$$S_{\mathcal A,topological} = \begin{cases}-\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 - \dots -\gamma_{\frac D2-1}b_{\frac D2-1}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is even},\\ -\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 + \dots -\gamma_{\frac {D-3}2}b_{\frac {D-3}2}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is odd}, \end{cases}$$ Wo $b_i$ist der $i$'te Betti-Zahl der Mannigfaltigkeit $\partial A$. Zum Beispiel der allgemeine Ausdruck in $D=2$Ist $S_\mathcal A = \alpha_1 L_\mathcal A - b_0\gamma_0$, wo die nullte Betti-Zahl $b_0$zählt nur die Anzahl der verbundenen Komponenten von $\partial A$. Beachten Sie das für $D=2,3$Es gibt nur einen TEE-Typ, während es in höheren Dimensionen mehrere gibt!

---

Verweise:

[ 1 ] Zhang et al., Quasi-Particle Statistics and Braiding from Ground State Entanglement Phys. Rev. B 85, ​​235151 (2012 ), arXiv:1111.2342

[ 2 ] Dong et al., Topological Entanglement Entropy in Chern-Simons Theories and Quantum Hall Fluids JHEP05(2008)016 , arXiv:0802.3231

[ 3 ] Hikami, Knäueltheorie und topologische Quantenregister: Flechtmatrizen und topologische Verschränkungsentropie von nicht-abelschen Quantenhallenzuständen arXiv:0709.2409

[ 4 ] Grover et al., Entanglement Entropy of Gapped Phases and Topological Order in Three Dimensions Phys. Rev. B 84, 195120 (2011) , arXiv:1108.4038

Auf eine mögliche Komplexität möchte ich hier für die Mannigfaltigkeit mit Rand eingehen, wie etwa die Einstiche auf der Mannigfaltigkeit. Als erstes ist zu fragen, ob die Randzustände lückenlos oder lückenhaft sind. Die Situation kann anders sein. Lassen Sie mich hier etwas über den Lückengrenzfall sagen. Es wurde kürzlich untersucht:

• unter Verwendung einer Tensor-Kategoriesprache auf der topologischen Ordnung mit Lückengrenzen (dh die Randzustände sind Lücken) von A.Kitaev und L.Kong 1104.5047 .

• Verwenden von topologischer QFT (TQFT), um die Eigenschaft der topologischen Ordnung mit Lückengrenzen zu verstehen. Solche J. Wang und XGWen 1212.4863 und A. Kapustin 1306.4254 und Ref darin.

Wie von Heidar und Hamurabi diskutiert, Topological Entanglement Entropy (TEE)$S_{TEE}=-\log D$. Aber expliziter können wir zumindest für die abelsche topologische Ordnung schreiben:

$$D=e^{-S_{TEE}}= \text{quantum dimension of the system}\\ = \text{number of quasiparticle types of the system}\\ =\text{ground state degeneracy(GSD) of the system on a $T^2$ torus}$$

Das sagt uns$D$hängt mit der Grundzustandsentartung (GSD) des Systems auf dem Torus zusammen. Es gibt ein intuitives Bild mit String-Net oder Wilson-Linie (Linienoperator) von Quasiteilchen (Anyons), um diese GSD, also das TEE, zu zählen. Man kann sich fragen , ob die GSD der topologischen Ordnung von der Mannigfaltigkeit mit lückenhaften Grenzen abhängen kann?

Die Antwort ist absolut ja. Nehmen wir eine Kugel mit zwei Einstichen. Es wird in 1212.4863 gefunden ,$Z_2$torisch ($Z_2$Eichtheorie) Code hat GSD=2 oder GSD=1, abhängig von der Art der Lückengrenzen, während$Z_2$verdoppelte Semions (twist$Z_2$Eichtheorie) hat GSD = 2, unabhängig von der Art der Lückengrenzen. Man kann wieder das String-Net oder die Wilson-Linie von Anyons verwenden, um GSD zu zählen, erklärt in 1212.4863 .

Sie fragen also weiter, ob diese GSD-Eigenschaft das TEE für die Mannigfaltigkeit mit lückenhaften Grenzen beeinflusst?

Wir wären nicht allzu überrascht, wenn es tatsächlich diese Möglichkeit gibt.

p.s. Tatsächlich hatte ich vor einigen Monaten einige Gedanken darüber, die Entropie der topologischen Verschränkung für diese Art von generischen Fällen für die Mannigfaltigkeit mit lückenlosen/lückenhaften Grenzen und Punktierungen auszuarbeiten.