Effektive Feldtheorie des projektiven Semion-Modells

Question

Effektive Feldtheorie des projektiven Semion-Modells

Physik
kondensierte Materie
topologische Ordnung
topologische Phase
Chern-Simons-Theorie
Quantenfeldtheorie

Zitao Wang

Das „projective semion“-Modell wurde in http://arxiv.org/abs/1403.6491 (Seite 2) betrachtet . Es ist eine symmetrieangereicherte topologische (SET) Phase. Es gibt ein nicht-triviales Anyon, ein Semion $s$ was einen Phasenfaktor von induziert $\pi$ wenn man um ein anderes Semion herumgeht. Die chirale topologische Reihenfolge ist die gleiche wie die $\nu = 1/2$ bosonischer fraktionaler Quanten-Hall-Zustand, dessen effektive Feldtheorie die ist $K = 2$ Chern-Simons-Theorie:

L = \frac{2}{4 π} ϵ^{μ v λ} A_{μ} \partial_{v} A_{λ}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \frac{2}{4\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}a_{\lambda} \end{equation}$

Die Symmetriegruppe für die Theorie ist $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . Wir bezeichnen die drei nicht-trivialen Gruppenelemente als $g_x, g_y, g_z$ . Die Symmetrie kann auf folgende Weise auf das Semion einwirken:

Jedes Semion trägt die halbe Ladung für alle drei $\mathbb{Z}_2$ Transformationen. Außerdem die drei $\mathbb{Z}_2$ Transformationen antikommutieren miteinander und können als dargestellt werden $g_x = i\sigma_x, g_y = i\sigma_y, g_z = i\sigma_z$ .
Das Semion trägt eine integrale Ladung unter zwei der drei $\mathbb{Z}_2$ Transformationen und eine halbe Ladung unter der anderen $\mathbb{Z}_2$ Transformation. Es gibt drei Varianten davon, und die Symmetriegruppe kann dargestellt werden als $g_x = \sigma_x, g_y = \sigma_y, g_z = i\sigma_z$ , oder $g_x = \sigma_x, g_y = i\sigma_y, g_z = \sigma_z$ , oder $g_x = i\sigma_x, g_y = \sigma_y, g_z = \sigma_z$ .

Die Symmetriefraktionierung in Fall 1 ist anomaliefrei, aber in Fall 2 anomal, wie in http://arxiv.org/abs/1403.6491 gezeigt .

Ich möchte eine effektive Beschreibung der Feldtheorie aufschreiben, um das Muster der Symmetriefraktionierung in den Fällen 1 und 2 auf dem Semion zu beschreiben $a$ , und kann explizit sehen, dass die Feldtheorie, die ich für Fall 1 aufschreibe, anomaliefrei ist, während die für Fall 2 eine Anomalie hat.

Eine Möglichkeit besteht darin, die Symmetrie zu messen $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ , und koppeln Sie die Eichfelder an das Semion $a$ . Die unterschiedlichen Kopplungsterme spiegeln die unterschiedliche Darstellungsweise der Symmetrie auf dem Semion wider. Ich denke, das ist im Wesentlichen das, was Gleichung (5) auf Seite 21 von http://arxiv.org/abs/1404.3230 zu beschreiben versucht. Die Aktion, die sie aufgeschrieben haben, ist

L = \frac{2}{4 π} ϵ^{μ v λ} A_{μ} \partial_{v} A_{λ} + \frac{P_{1}}{2 π} ϵ^{μ v λ} A_{μ} \partial_{v} A_{1 λ} + \frac{P_{2}}{2 π} ϵ^{μ v λ} A_{μ} \partial_{v} A_{2 λ} + \frac{P_{3}}{π^{2}} ϵ^{μ v λ} A_{μ} A_{1 v} A_{2 λ}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \frac{2}{4\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}a_{\lambda} + \frac{p_1}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}A_{1\lambda} + \frac{p_2}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}A_{2\lambda} + \frac{p_3}{\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}A_{1\nu}A_{2\lambda} \end{equation}$

Ich kann den zweiten und dritten Begriff in dieser Aktion verstehen, der besagt (mit $p_1=p_2=1$ ), dass das Semion $a$ trägt halbe Symmetrieladung unter den beiden Generatoren (sagen wir $g_x$ Und $g_y$ ) von $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ .

Ich habe jedoch Probleme, den letzten Term in der Aktion zu verstehen, vermutlich bedeutet dies, dass das Semion unter allen drei Elementen die halbe Ladung trägt $g_x,g_y,g_z$ In $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ . Wenn dies korrekt ist, dann Einstellung $p_1=p_2=0, p_3=1$ gibt uns eine effektive Beschreibung von Fall 1. Die Theorie ist frei von Anomalien; während Einstellung $p_1=p_2=p_3=1$ gibt uns eine effektive Beschreibung von Fall 2 (semion $a$ trägt die Hälfte $g_x,g_y,g_z$ Gebühr aus dem letzten Semester und eine weitere Hälfte $g_x,g_y$ Ladung aus dem zweiten und dritten Term), und die Theorie ist anomal. Dies stimmt mit der Behauptung auf Seite 24 von http://arxiv.org/abs/1404.3230 überein .

Hat irgendjemand eine Idee, warum der letzte Begriff in $\mathcal{L}$ sagt, dass das Semion unter allen drei Elementen die halbe Ladung trägt $g_x,g_y,g_z$ In $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ ?

Antworten (1)

Effektive Feldtheorie des projektiven Semion-Modells

Meng Cheng · Answer 1

Meng Cheng

Es könnte nützlich sein, die physikalische Bedeutung des Begriffs zu betrachten $aA_1A_2$ in einer Eichtheorie. Komprimieren Sie die Theorie auf einen "dünnen" Torus, sagen wir die Länge des $y$ Richtung $l_y$ ist viel kleiner als $l_x$ . Die beiden Grundzustände unterscheiden sich durch den Wert der Wilson-Schleife entlang $y$ . Heuristisch können wir einfach substituieren $a=0,\pi$ (Ich bin schlampig mit den Indizes ...), und im Semion-Sektor bekommen wir einen Begriff $A_1\wedge A_2$ in der "dimensional reduzierten" $1+1$ Theorie. Wie in http://arxiv.org/abs/1401.0740 beschrieben , ist dies die Kontinuumsversion von $1+1$ Dijkgraaf-Witten-Theorie $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ Eichfeld und beschreiben die durch diese Symmetrie geschützte 1D-SPT. Dies impliziert, dass ein Semion das Ende eines 1D ist $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ SPT, das Spin-1/2 trägt (oder die Semions-Wilson-Linie ist mit einer Haldane-Kette "verziert"). Da jedoch 1D SPT durch klassifiziert werden $H^2(G, U(1))$ , es ist mehrdeutig über die bestimmte Klasse in $H^2(G, Z_2)$ , darum geht es doch eigentlich in deiner Frage.

Dieses Argument ist also sicherlich nicht zufriedenstellend und geht nicht wirklich direkt auf Ihre Frage ein. Vielleicht könnte es hilfreich sein, zur Kantentheorie zu gehen und die Symmetrietransformation der Kantenmodi herauszufinden?

Zitao Wang

Danke! Ja, ich denke, die Dimensionsreduktion ist eine gute Möglichkeit, die Physik zu sehen. Aber ich bin mir nicht sicher, ob es einen direkteren Weg gibt, den letzten Begriff zu interpretieren. Was mich insbesondere verwirrt, ist, dass auf Seite 22 des Papiers arxiv.org/abs/1404.3230 festgelegt wird, dass, wenn wir

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ als aus einer Untergruppe von

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ , dann das Semion

A $a$ würde sich unter dem Eichmaß

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ auf ziemlich bizarre Weise

ein → ein −Q1F1Dϕ22π _ $a \rightarrow a-q_1f_1\frac{d\phi_2}{2\pi}$ . Das erscheint mir irgendwie künstlich und ich habe keine gute Intuition dafür.

Zitao Wang

Ich bin mir auch nicht sicher, was Sie meinen, wenn Sie zur Edge-Theorie gehen. Diese Theorie lebt an der Grenze von

3 + 1 $3+1$ d SPT, dessen wirksame Aktion eine DW-Aktion

S4 $S_4$ auf Seite 23 von arxiv.org/abs/1404.3230. Und die Grenze einer Grenze sollte verschwinden.

Meng Cheng

Wenn

P1=P2= 0 $p_1=p_2=0$ Die Theorie ist anomaliefrei und kann in 2D realisiert werden (tatsächlich ist eine chirale Spinflüssigkeit mit Z

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ Symmetrie ist das

π $\pi$ Drehungen um

x , y, z $x,y,z$ Achsen). Es ist also kein Problem, über die Kantentheorie zu sprechen. Nur die anomalen benötigen einen 3D-SPT-Bulk, um sich zu normalisieren. In Bezug auf die Eichinvarianz scheint

ein → ein −Q1F1A2 $a\rightarrow a - q_1f_1A_2$ wird nur postuliert, um die Variation des

AA1A2 $aA_1A_2$ . Eigentlich bin ich mir nicht sicher, wie die Aktion unter der Eichtransformation

a → a + dF $a\rightarrow a+df$ .

Zitao Wang

Unter

a → a + dF $a \rightarrow a+df$ ,

n = 2 $n=2$ in unserem Fall) indem wir fordern, dass

Dϕich= nAich $d\phi_i = nA_i$ . Und in der Form

P3( 2π _)2ein dϕ1Dϕ2 $\frac{p_3}{(2\pi)^2}ad\phi_1d\phi_2$ , das sieht man sehr leicht unter

a → a + dF $a \rightarrow a+df$ , trägt dieser Term eine Gesamtableitung bei.

Meng Cheng

Ich habe das

N $n$ im Ausdruck. Das macht sehr viel Sinn.

Zitao Wang

Ich denke, das Transformationsgesetz, das sie postulieren, ist

ein → ein −Q1F1Dϕ22π _ $a \rightarrow a -q_1f_1\frac{d\phi_2}{2\pi}$ unter

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ ist eng verwandt mit

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ist auf den Semions vertreten. Wenn wir verstehen können, warum

A $a$ so transformieren sollte, wissen wir wie

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ist auf dem Semion vertreten.

Zitao Wang

Funktioniert auch mit

P1=P2= 0 $p_1=p_2=0$ eine chirale Spinflüssigkeit beschreiben? Wir erwarten dies, weil es anomaliefrei ist, und die effektive Aktion mit

P1=P2= 0 $p_1=p_2=0$ ist anomaliefrei. Das Transformationsgesetz von

A $a$ unter

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ ist eine Art Konstruktion, die den dritten Term selbst eicheninvariant macht (daher anomaliefrei).

Meng Cheng

niederschreiben

CP1 $CP^1$ Vertretung:

24π _ein da + v | ( ich ∂− ein − EIN ⋅ σ) z|2 $\frac{2}{4\pi}ada+v|(i\partial-a-\mathbf{A}\cdot \sigma)z|^2$ wobei

z= (z↑,z↓)T $z=(z_\uparrow, z_\downarrow)^T$ , und

A $\mathbf{A}$ ist

SO ( 3 ) $SO(3)$

zerlegt werden kann

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ .

zusammenhängen kann

P3 $p_3$ Begriff...

Zitao Wang

Danke!

noch ein Geisterfeld vorstellen

SO ( 3 ) $SO(3)$ bis zu

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . Ich werde versuchen, daran zu arbeiten und zu sehen, ob es Sinn macht.

Zitao Wang

Hallo Meng, ich war etwas verwirrt über die

Z2 $\mathbb{Z}_2$ Koeffizient, der in der Gruppenkohomologie erscheint. Ich dachte, dass die projektiven Darstellungen durch

H2( G , U( 1 ) ) $H^2(G,U(1))$ .

Meng Cheng

Für die Symmetriefraktionierung von Anyonen muss man die Gruppe der abelschen Anyonen als Koeffizienten verwenden. Tatsächlich sind im projektiven Semion-Beispiel Fall 1 und Fall 2, wenn sie als

U( 1 ) $U(1)$ 2-Kozyklen, sind kohomologisch äquivalent. Und wir wissen,

H2(Z2, u( 1 ) ) = 0 $H^2(Z_2, U(1))=0$ , aber Halbionen können immer noch die halbe Ladung von

Z2 $Z_2$ weil

H2(Z2,Z2) =Z2 $H^2(Z_2, Z_2)=Z_2$ . Der Grund, abelsche Anyonen als Koeffizienten zu verwenden, ist die Konsistenz der Fraktionierung mit Fusionsregeln von Anyonen, wie in Abschn. IV von arxiv.org/pdf/1410.4540.pdf .

Zitao Wang

Gibt es eine Möglichkeit, die Symmetriefraktionierung auf dem Semion in

2 + 1 $2+1$ d (eine Klasse in

H2(Z2×Z2,Z2) $H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2)$ ) aus der Symmetriewirkung auf das Semion am Rand des dimensionsreduzierten

1 + 1 $1+1$ d SPT (in diesem Fall ist es ziemlich trivial, weil der Kantenspin-1/2 des Semions unter

Z2 $\mathbb{Z}_2$ )? Ich schätze mathematisch, meine Frage entspricht der Frage, ob es einen Homomorphismus von

Z2=H2(Z2×Z2, u( 1 ) ) →H2(Z2×Z2,Z2) =Z32 $\mathbb{Z}_2=H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,U(1))\rightarrow H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2^3$ (Hoffentlich eine injektive).

Meng Cheng

Ich glaube nicht. Unter den 8 Klassen in

H2(Z2×Z2,Z2) $H^2(Z_2\times Z_2, Z_2)$ , vier von ihnen bilden die nichttriviale Klasse in

H2(Z2×Z2, u( 1 ) ) $H^2(Z_2\times Z_2, U(1))$ . Ich sehe keine Möglichkeit, das Mapping umzukehren.

Zitao Wang

ich verstehe die Physik von

AA1A2 $aA_1A_2$ Jetzt. Erstens entspricht diese Aktion Typ-III-Kozyklen

ω ( A , B , C) = e x p ( ich πA1B2C3) $\omega(A,B,C) = exp(i\pi a_1b_2c_3)$ im DW-Modell mit

Z32 $\mathbb{Z}_2^3$ Symmetrie (Seite 10, Tabelle I in Juvens Aufsatz exp(i\pia_1b_2c_3)). Dann die Statistiken verschiedener Cocycles im

2 + 1 $2+1$ d DW-Modell wird in Chenjies Artikel betrachtet (Seite 9 von arxiv.org/abs/1412.1781 ). Die Statistiken, die von

AA1A2 $aA_1A_2$ ist nicht-abelsch. Es besagt, dass nach einem "Borromäischen" Geflecht zwischen

ein ,A1,A2 $a,A_1,A_2$ Flüsse erhalten wir eine Phase von

Θ123= π $\Theta_{123}=\pi$ .

Zitao Wang

Ich denke in diesem Fall nur das

ein dA1 $adA_1$ und

ein dA2 $adA_2$ Laufzeit trägt zur gemeinsamen Statistik bei

( ein ,A1) $(a,A_1)$ ,

( ein ,A2) $(a,A_2)$ . In unserem Fall sagen der 2. und 3. Term, dass

A $a$ trägt die Hälfte

A1 $A_1$ und

A2 $A_2$ Aufladung. Der vierte Term ist jedoch

AA1A2 $aA_1A_2$ trägt nur zu den nicht-abelschen "Borromäischen" geflochtenen Statistiken bei und trägt nicht zu den gegenseitigen Statistiken bei

( ein ,A1) $(a,A_1)$ ,

( ein ,A2) $(a,A_2)$ . Wenn wir also nur den 4h-Term in der Aktion haben (dh

P1=P2= 0 ,P3= 1 $p_1=p_2=0, p_3=1$ ), sollten wir keine nicht-trivialen gegenseitigen Statistiken sehen

( ein ,A1) $(a,A_1)$ ,

( ein ,A2) $(a,A_2)$ . Insbesondere die Vorstellung, dass

A $a$ trägt die Hälfte

A1 $A_1$ ,

U( 1 ) × U( 1 ) $U(1)\times U(1)$ bis zu

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ .

Zitao Wang

Ja hab ich. mein gtalk ist zwangab91@gmail.com.

Zitao Wang

Dies ist auch mein Skype-Konto. Wir könnten wahrscheinlich eine Zeit vereinbaren, die für uns beide passt. Danke!