Was ist der Unterschied zwischen bosonischen und fermionischen symmetriegeschützten topologischen Phasen (SPT)

Das Modell von Levin und Gu ist aus Produkten der Spin-1/2-Operatoren aufgebaut$S_i^x$,$S_i^y$Und$S_i^z$an jedem Standort$i$. Diese Betreiber pendeln an verschiedenen Standorten ($[S_i^\alpha, S_j^\beta] = 0$für$i \neq j$), weshalb wir sagen, dass dieses Modell bosonisch ist, und die SPT-Phasen in diesem Modell bosonische SPTs sind.

Im Gegensatz dazu würde ein fermionisches Modell aus fermionischen Operatoren aufgebaut werden$a_i$,$a_i^{\dagger}$, die an verschiedenen Standorten ( zB$\{ a_i, a_j \} = 0$für$i \neq j$.) SPT-Phasen in einem fermionischen Modell werden als fermionische SPTs bezeichnet.

Beachten Sie für einen physikalischeren Standpunkt, dass das Modell von Levin und Gu auf ein Modell von spinlosen bosonischen Partikeln mit hartem Kern abgebildet werden kann, die auf einem Gitter hüpfen, wo (zum Beispiel) ein Spin-up an einer bestimmten Stelle stattfindet$i$entspricht einer unbesetzten Stelle, Spin-down entspricht einer einfach besetzten Stelle, und energetische Beschränkungen benachteiligen stark mehr als ein Teilchen gleichzeitig an derselben Stelle. Es ist also im Wesentlichen ein bosonisches System.

Andererseits ist es auch wahr, wie Sie in Ihrer Frage angedeutet haben, dass das Levin- und Gu-Modell in einem System von Spin-1/2-Fermionen bei halber Füllung realisiert werden kann, bei dem für mehr eine große Energiestrafe entsteht als ein Fermion an einer bestimmten Stelle, so dass sich die Fermionen nicht bewegen können ("Mott-Isolator") und die Niedrigenergiephysik nur die Wechselwirkungen zwischen den Spins sind. Dies ist ein Beispiel für ein allgemeineres Prinzip: Bosonische Systeme sind eine Untergruppe von fermionischen Systemen. Das liegt daran, dass wir immer Wechselwirkungsterme hinzufügen können, sodass sich die Fermionen bei niedrigen Energien zu Bosonen paaren, und dann mit den bosonischen Variablen arbeiten.

Somit sehen wir, dass bosonische SPTs im Wesentlichen eine Untergruppe von fermionischen SPTs* sind. Betrachten Sie beispielsweise die Klassifizierung von Fermion-topologischen Phasen in (1+1)-D mit Zeitumkehrsymmetrie, http://arxiv.org/abs/1008.4138 . Es gibt insgesamt 8 Phasen (einschließlich der trivialen), die wir als {0,1,2,3,4,5,6,7} bezeichnen können. Von diesen haben 0 und 4 im Wesentlichen bosonischen Charakter (weil 0 ohnehin die triviale Phase ist und 4 durch das Vorhandensein eines Kramers-Dubletts an der Grenze gekennzeichnet ist, was in einem bosonischen System genauso gut vorkommen kann.) Der Rest sind wirklich fermionische Phasen, die in bosonischen Systemen kein Analogon haben. (Zum Beispiel haben 1,3,5,7 einen Majorana-Fermion-Nullmodus an der Grenze, und 2 und 6 haben eine Wirkung der Zeitumkehr, die die Fermion-Parität an der Grenze ändert.)

*Es gibt einen Vorbehalt bei der Aussage, dass bosonische SPTs eine Untergruppe von fermionischen SPTs sind. Der Grund dafür ist, dass ein System, das sich in einer nicht-trivialen bosonischen SPT-Phase befindet (das nicht kontinuierlich durch einen kontinuierlichen Pfad von bosonischen Hamilton-Operatoren mit der trivialen Phase verbunden werden kann, ohne einen Phasenübergang zu überqueren), als fermionische SPT trivial werden kann, wenn es eine kontinuierliche gibt Pfad der fermionischen Hamiltonoperatoren (die, wie wir uns erinnern, allgemeiner sind als die bosonischen Hamiltonoperatoren), die ihn mit der trivialen Phase verbinden. Einige Beispiele für dieses Phänomen finden sich unter: http://arxiv.org/abs/1205.3156