Die topologische Verschränkungsentropie (TEE, vorgeschlagen von Levin, Wen, Kitaev und Preskill) ist eine direkte Charakterisierung der in einer Wellenfunktion codierten topologischen Ordnung. Hier habe ich einige Verwirrung, und nehmen wir als Beispiel das Kitaev-Spin-1/2-Modell auf dem Wabengitter.
Die Grundzustandsverschränkungsentropie des Kitaev-Modells kann genau berechnet werden , wobei TEE= sowohl für die Gap-Phase als auch für die Gapless-Phase . Dies steht im Einklang mit der 4-fachen Grundzustandsentartung auf einem Torus sowohl für lückenlose als auch für lückenlose Phasen. [Obwohl die Grundzustandsentartung in der lückenlosen Phase möglicherweise nicht gut definiert ist.]
Frage: Das von Null verschiedene TEE des lückenlosen Grundzustands besagt, dass der lückenlose Zustand „topologische Ordnung“ hat, aber „topologische Ordnung“ nur für eine Phase mit Lücken definiert ist. Wie verstehe ich dieses Paradoxon?
Bemerkungen: Ich persönlich denke, dass das Konzept der "topologischen Ordnung" für einen Hamilton-Operator mit Lücken und für eine Wellenfunktion unterschiedlich sein kann .
Eine verwandte Frage ist: ob ein bestimmter Zustand ist lückenhaft oder nicht? Eine mögliche Definition könnte sein: Wenn es einen lückenhaften Hamiltonoperator gibt, dessen Grundzustand ist , dann sagen wir ist ein Lückenzustand. Aber diese Definition scheint nicht gut definiert zu sein, da es möglicherweise einen anderen lückenlosen Hamiltonoperator gibt, dessen Grundzustand es auch ist . Ein einfaches Beispiel ist ein freier Fermion-Hamiltonoperator , wo der Vakuumzustand ist ein lückenloser Grundzustand von während ist ein lückenhafter Grundzustand von , also die Lückenbedeutung eines bestimmten Zustands (hier ) kann mehrdeutig sein.
Ich persönlich denke also, dass die lückenhaften und lückenlosen Grundzustände im Kitaev-Modell beide topologisch geordnete Wellenfunktionen sind (vom TEE ungleich Null ), aber nur der lückenhafte Kitaev- Hamilton-Operator (anstelle des lückenlosen Kitaev- Hamilton-Operators ) hat eine wohldefinierte topologische Ordnung.
Vielen Dank im Voraus!
Eine sehr gute Frage. Zunächst einmal ist die topologische Ordnung streng genommen nur für Lückenzustände definiert. Aber bis zu einem gewissen Grad kann es mit lückenlosen Freiheitsgraden koexistieren. Ein ziemlich triviales Beispiel ist das Hinzufügen von etwas lückenlos Entkoppeltem von der topologischen Ordnung (zB Phononen). Das Beispiel des Kitaev-Modells ist jedoch ganz anders, da der lückenlose Teil fermionische Spinons sind und der lückenhafte Teil Visionen ( Messfelder). Das TEE sagt, dass die Wellenfunktion der Das Eichfeld hat nicht-lokale Beschränkungen (dh elektrische Feldlinien müssen geschlossen sein oder nur an den Spinons enden), was sich auch in der gegenseitigen Verflechtungsstatistik zwischen Spinonen und Visonen widerspiegelt. Aber andererseits haben die lückenlosen Spinons einen signifikanten Effekt: Fragt man beispielsweise nach der topologischen Entartung (zusätzlich zu den Spinonanregungen niedriger Energie) auf einem Torus, meine Überlegung ist, dass die Grundzustandsentartung reduziert wird Zu , weil Spinons, die sich um die großen Zyklen bewegen, die visuellen Flüsse messen können und ein solcher Prozess eine Amplitude hat .
Die Unterscheidung, die Sie ziehen, ist also in der Tat wichtig. Andererseits ist dieser lückenlose Zustand nicht robust: Nichts hindert die Spinons daran, eine Massenlücke zu öffnen, es sei denn, es werden zusätzliche Symmetrien auferlegt. So nahe an der lückenlosen Phase gibt es lückenhafte A- und B-Phasen, die beide den gleichen TEE-Wert haben. Er kann also als „kritischer Punkt“ zwischen der A- und B-Phase betrachtet werden.
Ich empfehle ein sehr aufschlussreiches Papier von Bonderson und Nayak, http://arxiv.org/abs/1212.6395 , in dem sehr ausführlich diskutiert wird, wie man topologische Ordnung bei Vorhandensein von lückenlosen Freiheitsgraden definieren kann und wie Grundzustandsdegeneration und -geflecht Statistiken sind betroffen.
Für die zweite Frage sollte ein Lückenzustand wahrscheinlich als ein Zustand definiert werden, in dem alle Korrelationsfunktionen (von physikalischen, lokalen Operatoren) kurzreichweitig sind. Es scheint mir, dass, wenn ein Zustand lückenlos ist, eine Korrelationsfunktion die Lückenlosigkeit erkennen sollte: Beispielsweise sind in Ihrem Beispiel des Kitaev-Wabenmodells die Spinkorrelationsfunktionen zwar von kurzer Reichweite, die Bindungsenergiekorrelationen jedoch algebraisch. Ich habe kein Gegenbeispiel zu diesem Kriterium gesehen, aber ich glaube auch nicht, dass es rigoros bewiesen wurde. Sie können unter http://arxiv.org/abs/math-ph/0507008 nach einem Beweis für die spektrale Lücke suchen, der Korrelationen mit kurzer Reichweite impliziert (man muss auch vorsichtig sein, ob man verbundene Korrelationsfunktionen verwenden sollte, so viele subtile Details. ..).
Kai Li
Meng Cheng
Kai Li
Meng Cheng