Dies ist eine schwere Frage, die viele Themen enthält, die ihrer eigenen Frage würdig sind, daher werde ich keine vollständige Antwort geben. Ich verlasse mich hauptsächlich auf dieses hervorragende Übersichtspapier von Nayak, Simon, Stern, Freedman und Das Sarma. Der erste Teil kann von allen übersprungen werden, die bereits mit anyons vertraut sind.

Abelsche und nicht-Abelsche Anyons

Anyone sind emergente Quasiteilchen in zweidimensionalen Systemen, die eine Austauschstatistik haben, die weder fermionisch noch bosonisch ist. Ein System, das anyonische Quasiteilchen enthält, hat einen Grundzustand, der durch eine Lücke vom Rest des Spektrums getrennt ist. Wir können die Quasiteilchen adiabatisch bewegen, und solange die Energie, die wir in das System einbringen, niedriger ist als die Lücke, werden wir es nicht anregen und es bleibt im Grundzustand. Dies ist teilweise der Grund, warum wir sagen, dass das System topologisch durch die Lücke geschützt ist.

Der einfachere Fall ist, wenn das System abelsche Anyonen enthält , in diesem Fall ist der Grundzustand nicht entartet (dh eindimensional). Wenn zwei Quasiteilchen adiabatisch ausgetauscht werden, wissen wir, dass das System den Grundzustand nicht verlassen kann, also kann nur passieren, dass die Wellenfunktion des Grundzustands mit einer Phase multipliziert wird$e^{i \theta}$. Wenn dies nur Fermionen oder Bosonen wären, dann hätten wir es getan$\theta=\pi$oder$\theta=0$jeweils, aber für alle$\theta$kann andere Werte haben.

Der interessantere Fall sind nicht-Abelsche Anyons , bei denen der Grundzustand entartet ist (also tatsächlich ein Grundraum ist ). In diesem Fall kann der Austausch von Quasiteilchen eine kompliziertere Wirkung auf den Bodenraum haben als nur eine Phase, im Allgemeinen wendet ein solcher Austausch eine einheitliche Matrix an$U$auf dem Grundraum (der Name ‚nicht-Abelsch‘ kommt von der Tatsache, dass diese Matrizen im Allgemeinen nicht miteinander pendeln).

Die Quantendimension

Wir wissen also, dass der Grundraum eines Systems mit nicht-Abelschen Anyonen entartet ist, aber was können wir über seine Dimension sagen? Wir erwarten, dass die Dimension umso größer wird, je mehr Quasiteilchen wir im System haben. Tatsächlich stellt sich heraus, dass für$M$Quasiteilchen, die Dimension des Bodenraums für groß$M$ist ungefähr$\sim d_a^{M-2}$wo$d_a$ist eine Zahl, die davon abhängt$a$- die Art der Quasiteilchen im System. Dieses Skalierungsgesetz erinnert an die Skalierung der Dimension eines Tensorprodukts mehrerer Hilbert-Dimensionsräume$d_a$, und aus diesem Grund$d_a$wird die Quantendimension eines Quasiteilchens vom Typ genannt$a$. Sie können es sich als die asymptotische Entartung pro Teilchen vorstellen . Für abelsche Anyonen haben wir einen eindimensionalen Grundraum, egal wie viele Quasiteilchen im System sind, also für sie$d_a=1$.

Obwohl wir die Analogie zu einem Tensorprodukt von Hilbert-Räumen verwendet haben, beachten Sie, dass in diesem Fall die Dimension jedes Hilbert-Raums eine ganze Zahl ist, während die Quantendimension im Allgemeinen keine ganze Zahl ist. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von nicht-Abelschen Anyonen, die sie von nur einer Menge von Teilchen mit lokalen Hilbert-Räumen unterscheidet - der Grundraum von nicht-Abelschen Anyonen ist hochgradig nichtlokal.

Weitere Einzelheiten zu Anyonen und der Quantendimension finden sich in dem oben zitierten Übersichtsartikel. Die Quantendimension kann auf andere Systeme mit topologischen Eigenschaften verallgemeinert werden, wobei die gleiche intuitive Bedeutung der asymptotischen Entartung pro Teilchen beibehalten wird. Es ist im Allgemeinen sehr schwierig, die Quantendimension zu berechnen, und es gibt nur eine Handvoll Artikel, die dies tun (die meisten davon werden in dem Artikel von Kitaev und Preskill zitiert , der diese Frage inspiriert hat).

Beziehung zur Verstrickung

Ich kann auch versuchen, mit der Hand zu argumentieren, warum die Quantendimension mit Verschränkung zusammenhängt. Zunächst einmal die Tatsache, dass die Verschränkungsentropie einer begrenzten Region nur von der Länge der Grenze abhängt$L$und nicht auf das Gebiet der Region wird in diesem Artikel von Srednicki sehr deutlich erklärt, der auch von Kitaev und Preskill zitiert wird. Grundsätzlich heißt es, dass die Verschränkungsentropie berechnet werden kann, indem der begrenzte Bereich oder alles außerhalb des begrenzten Bereichs verfolgt wird, und die beiden Ansätze führen zum gleichen Ergebnis. Dies bedeutet, dass die Verschränkung nur von Merkmalen abhängen muss, die beide Regionen gemeinsam haben, und dies schließt die Fläche der Regionen aus und lässt nur die Grenze zwischen ihnen übrig.

Nun würde für ein System ohne topologische Ordnung die Verschränkung auf Null gehen, wenn die Größe der begrenzten Region auf Null geht. Für ein topologisches System gibt es jedoch eine intrinsische Verschränkung im Grundraum, die den konstanten Term ergibt$-\gamma$in der Verstrickung. Die maximale Verschränkungsentropie eines Systems mit Dimension$D$hat mit seiner Umgebung ist$\log D$, so ist analog die topologische Verschränkung$\gamma=\log D$wo$D$ist die Quantendimension. Auch dieses letzte Argument stützt sich stark auf das Handwinken. Wenn also jemand es verbessern kann, tun Sie es bitte.

Ich hoffe, dies beantwortet zumindest die wichtigsten Bedenken in der Frage, und ich freue mich über jede Kritik.