Wie werden die Zustände „Gaped“ und „Gapless“ definiert?

Im ehemaligen Phys.SE-Beitrag Können Gapped-State und Gapless-State adiabatisch miteinander verbunden werden? , Ich habe unterschiedliche Antworten von Norbert Schuch und Xiaogang Wen gesehen.

Ich bin verwirrt von der Frage: Können wir definieren, ob ein STATE lückenhaft oder lückenlos ist, ohne einen Hamiltonian zu erwähnen?

In Norbert Schuchs Beispiel zum Torischen Code gab er ein Beispiel dafür, dass ein Zustand der Grundzustand eines lückenhaften Hamilton-Operators und auch eines anderen lückenlosen Hamilton-Operators sein kann. Es scheint also, dass wir den Hamilton-Operator spezifizieren müssen, wenn wir über einen lückenlosen oder lückenlosen Zustand sprechen.

In Wens Antwort, die über die Definition von lückenhaftem und lückenlosem Zustand ( hier ) sprach, erwähnte er

Ich frage mich, wenn jemand die Definition eines lückenhaften Vielkörpersystems sehr sorgfältig betrachtet hätte, könnte er/sie den Begriff der topologischen Ordnung mathematisch entdecken.

Hier scheint Prof. Wen vorzuschlagen, dass die Lücken- oder Lückenlosigkeitseigenschaft dem Zustand selbst innewohnt (wie in seinen Artikeln, um Zustandsphasen als äquivalente Mengen von Quantenschaltkreisen mit endlicher Tiefe zu erklären).

Also meine Frage:

Wenn Schuch Recht hat, dann gibt es keine absolute Definition der Phase eines Zustands, da sie von der Hamilton-Funktion abhängig ist.

Wenn Wen Recht hat, hängt die Phase eines Zustands nicht vom Hamilton-Operator ab, oder es existiert eine Art Abbildung zwischen dem Zustand und dem Hamilton-Operator, so dass es keine Mehrdeutigkeit bezüglich der Lücken- oder Lücken-Eigenschaft eines Zustands gibt.

Antworten (1)

Obwohl es stimmt, wie Norbert Schuch betonte, dass der Grundzustand von Hamiltonoperatoren mit und ohne Lücke derselbe Zustand sein kann, scheint dieses Verhalten im Allgemeinen ziemlich fein abgestimmt zu sein. Ich würde erwarten, dass sich für eine generische Störung der von ihm diskutierten lückenlosen Hamiltonoperatoren eine Lücke auftun würde. Aus diesem Grund neigen Physiker dazu, diese Subtilität zu ignorieren und Gapped/Gapless als Eigenschaft des Zustands zu behandeln. Insbesondere:

  • Ein Grundzustand mit Gapped Hamiltonian muss Korrelationen aufweisen, die exponentiell mit der Entfernung abfallen (dies wurde streng von Hastings und Koma bewiesen).

  • Empirisch scheint es, dass der Grundzustand eines lückenlosen Hamilton-Operators generisch mit dem Zerfall als Potenzgesetz mit der Entfernung korreliert. (Obwohl dies an einigen fein abgestimmten Punkten scheitern kann, wie die Beispiele von Norbert Schuch zeigen).

Wenn man jedoch den Begriff eines "Gap State" ohne Bezugnahme auf seinen Eltern-Hamiltonian völlig rigoros machen möchte, könnte man die folgende Definition vornehmen:

Ein Staat | ψ ⟩ ist lückenhaft, wenn es einen lückenhaften Hamiltonoperator gibt H so dass | ψ ⟩ ist sein Grundzustand.

Dies schließt offensichtlich die Existenz eines weiteren Hamilton-Operators nicht aus H ' die lückenlos ist und den gleichen Grundzustand hat. Die Existenz eines lückenhaften Eltern-Hamiltonianers stellt dies jedoch bereits sicher | ψ ⟩ hat ausreichend schöne Eigenschaften (z. B. exponentiell abfallende Korrelationen, Flächengesetz für Verschränkungsentropie), dass seine topologische Ordnung definiert werden kann (Sie müssen sich nicht immer auf den Hamilton-Operator beziehen H -- seine einzige Rolle besteht darin, dafür zu sorgen, dass der Staat diese netten Eigenschaften hat).

Ich stimme voll und ganz zu, dass diese fein abgestimmt sind – ich habe nie etwas anderes behauptet (und es war nie mein Punkt). Andererseits verstehe ich die Besessenheit von Lücken nicht ganz - mein Gefühl ist, dass es am Ende mehr um die Stabilität der Phase geht.
@NorbertSchuch Die Frage der Stabilität ist ziemlich orthogonal zur Lückenfülle. Es gibt lückenhafte Hamiltonoperatoren, die instabil sind, und lückenlose Hamiltonoperatoren, die stabil sind. Aber wie ich in meiner Antwort sagte, denke ich, dass das Wichtige nicht so sehr die Lücke selbst ist, sondern ihre Konsequenzen für den Grundzustand: Nahbereichskorrelationen, Flächengesetz-Verschränkungsentropie (nun, diese ist nicht wirklich bewiesen) und so weiter.
@Dominic Else Dann scheint es eine Art Zuordnung zwischen dem Zustandsraum und dem Hamiltonschen Raum zu geben. Wenn wir die Phase eines Zustands diskutieren, kombinieren wir normalerweise sowohl die Eigenschaft des Zustands selbst (als Verschränkungs- oder Korrelationsmuster) als auch seine Stabilität unter einem bestimmten Hamilton-Operator. Für mich ist diese Art des „Stereosehens“ nicht sehr praktisch, wenn wir die Phase als die intrinsische Eigenschaft eines Zustands betrachten. Können wir nur ein Auge verwenden, indem wir die Zuordnung zwischen Zuständen und Hamiltonoperatoren finden?
@DominicElse Was ist ein Beispiel für einen instabilen Hamiltonian mit Lücken?
@tparker Auf einer 1-D-Kette von Spin 1/2, lassen Sie H = − ∑ ich σ ich z σ ich + 1 z − σ 1 z . Dann ist der einzigartige Grundzustand mit Lücken der Zustand, in dem alle Spins polarisiert sind + z Richtung. Aber sobald Sie ein einheitliches Magnetfeld hinzufügen, H ∑ J σ J z , dann kippt der Grundzustand in den Zustand mit in polarisierten Spins um − z Richtung für alle H > 0 .
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