Warum nimmt die Entropie in diesen gekoppelten Quantensystemen ab?

Question

Warum nimmt die Entropie in diesen gekoppelten Quantensystemen ab?

donnydm

Ich habe die genaue Zeitentwicklung eines einfachen 1-D-Qubit-Gitters (Papier von 2008) berechnet und das habe ich herausgefunden $\rho(t)$ enthält eine Erregung von 2 Qubit-Site $(|1\rangle,|2\rangle)$ + 1 Waschbecken $(|3\rangle)$ + ein Vakuumzustand $(|0\rangle)$ :

Wir können beobachten, dass die Erregung am Anfang vor Ort beginnt $1$ , springt hinein $2$ und endet in der Senke (bei stabiler Population $\approx0.7$ ); einige werden dissipiert (in Vakuum überführt). Dies entspricht der Entwicklung der von-Neumann-Entropie ( $k_B\equiv1$ ) wie

$\;\;\;\;$

Dies ist ein komplettes System $(\mathrm{Tr}\rho(t)=1,\;t>0)$ und es wird gesagt, dh in dieser Antwort , dass das Gleichgewicht erreicht wird, wenn die Entropie maximal ist. Für mein Ergebnis ist dies eindeutig nicht der Fall, da die Entropie ansteigt und Stabilität bei erreicht $t\rightarrow\infty$ . Ich weiß das das teilweise an der Bevölkerung liegt $\rho_{11}$ geht von $1$ Zu $0$ , aber was ist hier wirklich los? Was macht dieses Ergebnis scheinbar unvereinbar mit der Aussage „Die Entropie nimmt immer zu“?

Bearbeiten:

Der Hamiltonian ist

H = \sum_{k = 1}^{N} ω_{k} σ_{k}^{+} σ_{k}^{-} + \sum_{k < l} v_{k l} (σ_{k}^{+} σ_{l}^{-} + σ_{k}^{-} σ_{l}^{-})

$\begin{equation} H=\sum_{k=1}^N \omega_k\sigma^+_k\sigma^-_k + \sum_{k<l}\nu_{kl}(\sigma^+_k\sigma^-_l + \sigma^-_k\sigma^-_l) \end{equation}$ und das System folgt der Lindbladian-Evolution mit

L_{D ich S S ich P A T ich Ö N} (ρ) = \sum_{k = 1}^{N} Γ_{k} [- {σ_{k}^{+} σ_{k}^{-}, ρ} + 2 σ_{k}^{-} ρ σ_{k}^{+}], L_{D e P H A S ich N G} (ρ) = \sum_{k = 1}^{N} γ_{k} [- {σ_{k}^{+} σ_{k}^{-}, ρ} + 2 σ_{k}^{+} σ_{k}^{-} ρ σ_{k}^{+} σ_{k}^{-}],

$\begin{equation} \mathcal{L}_{\mathrm{dissipation}}(\rho)=\sum_{k=1}^N \Gamma_k [-\{\sigma_k^+\sigma_k^-,\rho\}+2\sigma^-_k\rho\sigma^+_k], \\ \mathcal{L}_{\mathrm{dephasing}}(\rho)=\sum_{k=1}^N \gamma_k [-\{\sigma_k^+\sigma_k^-,\rho\}+2\sigma_k^+\sigma_k^-\rho\sigma_k^+\sigma_k^-], \\ \end{equation}$ hier Seite

2

$2$ ist mit dem Waschbecken verbunden, wo die Bevölkerung nicht entkommen kann,

L_{S ich N k} (ρ) = \sum_{k = 1}^{N} Γ_{N + 1} [- {σ_{2}^{+} σ_{N + 1}^{-} σ_{N + 1}^{+} σ_{2}^{-}, ρ} + 2 σ_{N + 1}^{+} σ_{2}^{-} ρ σ_{k}^{+} σ_{N + 1}^{-}] .

$\begin{equation} \mathcal{L}_{\mathrm{sink}}(\rho)=\sum_{k=1}^N \Gamma_{N+1} [-\{\sigma_2^+\sigma_{N+1}^-\sigma_{N+1}^+\sigma_{2}^-,\rho\}+2\sigma_{N+1}^+\sigma_{2}^-\rho\sigma_{k}^+\sigma_{N+1}^-]. \\ \end{equation}$

ich nahm $N=2$ und arbeiten in einer Ein-Exzitonen-Mannigfaltigkeit (bezeichnet durch Stellen $|1\rangle,|2\rangle$ und das Waschbecken $|3\rangle$ ) plus ein Vakuum $|0\rangle$ so dass

ρ = ρ_{11} | 1 ⟩ ⟨ 1 | + ρ_{22} | 2 ⟩ ⟨ 2 | + ρ_{33} | 3 ⟩ ⟨ 3 | + ρ_{00} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + Ö F F - D ich A G Ö N A l S,

$\begin{equation} \rho=\rho_{11}|1\rangle\langle 1| +\rho_{22}|2\rangle\langle2|+\rho_{33}|3\rangle\langle3|+\rho_{00}|0\rangle\langle 0| + \mathrm{off-diagonals}, \end{equation}$ und wir können auch schreiben

σ_{n}^{-} = | 0 ⟩ ⟨ n |

$\sigma^-_n=|0\rangle\langle n|$ . Die Parameter:

Γ_{1, 2} = 0.01, Γ_{3} = 0.2, ν_{12} = 0.1, γ = 0.02

$\Gamma_{1,2}=0.01,\Gamma_3=0.2,\nu_{12}=0.1,\gamma=0.02$ . Ich erhielt das gleiche Analyseergebnis wie in der Arbeit.

Durch Symmetrie

Können Sie ein paar weitere Details zu dem von Ihnen simulierten Aufbau, dem Hamilton-Operator und der Dichtematrix angeben?

ρ

$\rho$ ist (was Sie nachgezeichnet und welche Staaten Sie hinterlassen haben) Ich weiß, dass das meiste davon in dem Papier steht, auf das Sie verlinkt haben, aber Sie erhalten eher eine gute Antwort, wenn Sie es im Voraus angeben, damit die Leute nicht suchen müssen dafür

donnydm

@BySymmetry Ich habe den Hamiltonian hinzugefügt

Antworten (1)

Warum nimmt die Entropie in diesen gekoppelten Quantensystemen ab?

Können Sie ein paar weitere Details zu dem von Ihnen simulierten Aufbau, dem Hamilton-Operator und der Dichtematrix angeben? $\rho$ ist (was Sie nachgezeichnet und welche Staaten Sie hinterlassen haben) Ich weiß, dass das meiste davon in dem Papier steht, auf das Sie verlinkt haben, aber Sie erhalten eher eine gute Antwort, wenn Sie es im Voraus angeben, damit die Leute nicht suchen müssen dafür

Markus Mitchison · Answer 1

Es gibt keinen Grund zu erwarten, dass die Entropie eines offenen Systems immer zunehmen sollte. Tatsächlich sollte sie in vielen Beispielen deutlich abnehmen. Stellen Sie sich zum Beispiel ein Zwei-Niveau-System vor, das spontan in den Grundzustand zerfällt. Da der Endzustand des Zwei-Niveau-Systems rein ist (dh mit Null Entropie), ist die Entropie des Zwei-Niveau-Systems in diesem Fall strikt nicht ansteigend. Der Zerfallsprozess geht jedoch mit der Abgabe eines Energiequantums an die Umgebung einher. Dieser Prozess erhöht typischerweise die Entropie der Umgebung, um die Abnahme der Entropie des offenen Systems zu kompensieren.

Die Moral von der Geschichte ist, dass nur die Gesamtentropie sowohl des Systems als auch der Umgebung nicht abnehmen sollte, wenn der Entspannungsprozess eine Art Gleichgewicht beschreiben soll. Im Open-System-Formalismus ist die Entropie der Umgebung jedoch nicht durch Konstruktion zugänglich. Dennoch kann man für die Umgebung so etwas wie eine Entropieproduktion über den Wärmestrom in sie definieren:

\frac{D S_{B}}{D T} = - T^{- 1} T R [\hat{H} L ρ],

$\frac{{\rm d} S_B}{{\rm d} t} = -T^{-1}\, {\rm Tr}[\hat{H} \mathcal{L}\rho],$ Wo

T

$T$ ist die Temperatur des Bades (

B

$B$ ) beschrieben durch den Kühlkörper

L

$\mathcal{L}$ . Sie sollten sich davon überzeugen können, dass die rechte Seite proportional zur Änderungsgeschwindigkeit der mittleren Energie des offenen Systems ist, die durch die dissipative Kopplung an das Bad erzeugt wird.

Beachten Sie, dass diese Definition auf der althergebrachten thermodynamischen Vorstellung von Entropieänderungen beruht $\delta S = \delta Q/T$ , was nur für Übergänge zwischen thermischen Zuständen richtig ist (vorausgesetzt, wir wollen über die von Neumann-Entropie sprechen). Daher ist die oben definierte Entropieproduktion nur eine Annäherung, da das Bad nicht wirklich in einem thermischen Zustand verbleibt. Dennoch ist diese Annäherung typischerweise konsistent mit den anderen Annahmen, die der Hauptgleichung zugrunde liegen, die normalerweise nur gültig ist, wenn das Bad schwach aus dem Gleichgewicht gestört wird.

Danke, ich verstehe, dass das Bad nicht wirklich immer im thermischen Gleichgewicht ist; zuvor dachte ich, dass das Thermalbad in der schwachen Kopplung keine Entropieänderung aufweisen würde. Bedeutet das Minuszeichen, dass Wärme in das Bad gelangt?
Das Minuszeichen erzwingt, dass in das Bad eintretende Wärme zu einer positiven Entropieproduktion führt. Denn die Spur ist negativ, wenn die Energie des offenen Systems abnimmt, dh wenn Wärme dieses verlässt und in das Bad eintritt.

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donnydm

Durch Symmetrie

donnydm

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donnydm

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