Soweit ich weiß, sind die SPT-Ordnungen (oder SPT-Phasen) alle lückenhaft und durch Symmetrie geschützt. Sie sind jedoch über kurze Entfernungen verschränkt, und die Phasen der topologischen Ordnung sind alle über große Entfernungen verschränkt. Die SPT-Phasen sind also eine "triviale" topologische Reihenfolge. Das verwirrte mich, weil es "topologisch" genannt wird. Und warum lohnt es sich, die SPT-Phasen zu untersuchen, da sie "trivial" sind? Der Name SPT und die topologische Reihenfolge sind so ähnlich. Haben sie Beziehungen?
Eine symmetriegeschützte topologische Phase hat eine gewisse Symmetrie. Jeder Hamiltonoperator in dieser Phase kann adiabatisch (dh ohne Schließen der Lücke) in einen Hamiltonoperator deformiert werden, dessen Grundzustand ein Produktzustand ist, aber die Symmetrie muss während des Deformationsprozesses explizit gebrochen und am Ende wiederhergestellt werden. Als visuelle Analogie gibt es eine "Wand", die die Untermannigfaltigkeit des Parameterraums kreuzt, die die Symmetrie respektiert, und die Wand trennt die SPT-Phase von der völlig trivialen Phase mit einem Produktgrundzustand. Aber wenn es Ihnen erlaubt ist, die Symmetrie vorübergehend zu brechen, dann können Sie die Untermannigfaltigkeit verlassen und "über die Wand springen", bevor Sie wieder in der Untermannigfaltigkeit landen und die Symmetrie wiederherstellen.
Ein Hamiltonoperator in einer topologisch geordneten Phase kann auf keinen Fall (ohne die Lücke zu schließen) in einen Hamiltonoperator mit Produktgrundzustand deformiert werden . Die „Mauer“ durchquert hier den gesamten Parameterraum aller möglichen (lokalen) Störungen (sie ist unendlich hoch und kann nicht übersprungen werden). Die Phase muss keine Symmetrie aufweisen. Dies ist eine viel stärkere Bedingung.
Die beiden Konzepte sind auch mathematisch eng miteinander verwandt. Es stellt sich heraus, dass topologisch geordnete Zustände viel exotischer sind als SPT-Zustände. (Zum Beispiel haben sie "anyonische" Anregungen ohne bosonische oder fermionische Austauschstatistiken, während SPTs dies nicht tun. Zumindest nicht in der Masse - die Dinge werden an der Grenze etwas subtil.) Aber wenn Sie die Symmetrie mathematisch "messen", die schützt der SPT, dann bekommt man eine Theorie, die einem topologisch geordneten Zustand moralisch sehr ähnlich ist. Außerdem können beide Arten von Systemen sinnvollerweise unter Verwendung der Kohomologietheorie klassifiziert werden.
Topologische Ordnung und symmetriegeschützte topologische (oder triviale, wie einige Leute es vorziehen würden) Ordnung sind Ordnungen, die nicht durch das konventionelle Paradigma der Landau-Symmetriebrechung klassifiziert werden können. Man hat herausgefunden, dass es verschiedene Materiephasen mit gleicher Symmetrie gibt (z. B. verschiedene fraktionierte Quanten-Hall-Flüssigkeiten mit gleicher Symmetrie), was mit Landaus Theorie nicht zu erklären ist.
Der Unterschied zwischen diesen beiden wäre:
Die topologische Ordnung könnte alle Störungen aushalten (solange sie nicht zu groß sind), während die SPT-Ordnung nur Störungen aushalten könnte, die die Symmetrie respektieren, die den Zustand schützt.
Die topologische Ordnung hat eine Verschränkung über große Entfernungen, während SPT nur eine Verschränkung über kurze Entfernungen aufweist. Das bedeutet, dass die topologische Ordnung eine globale Eigenschaft des Systems ist (z. B. torischer Code), während SPT immer noch eine lokale Eigenschaft ist (z. B. AKLT-Kette).
Die topologische Ordnung könnte fraktionale Anregungen haben (dh Quasiteilchen, die eine fraktionale Statistik haben, aber nicht unbedingt), während SPT dies nicht kann (obwohl es eine Symmetriefraktionierung als Grenze geben könnte, aber das sind keine Anregungen).
Die Methoden zur Klassifizierung dieser beiden Ordnungen sind sehr unterschiedlich. Es gibt keinen einheitlichen Weg, um die topologische Ordnung zu klassifizieren (soweit ich weiß), während man für 1D-SPT (für bosonische und Spinsysteme) die Gruppenkohomologie verwenden kann, um verschiedene SPT-Zustände zu klassifizieren (es gibt den bekannten 10-fachen Weg). auch für nicht-wechselwirkende Fermionen für beliebige Dimensionen).
Beispiele: Topologische Ordnung: fraktionale Quanten-Hall-Systeme, Spinflüssigkeiten, torischer Code, Kitaev-Wabenmodell usw. SPT: Haldane/AKLT-Kette, topologische Isolatoren (Quantenspin-Hall), topologische Supraleiter usw.
Referenzen: arXiv: 1610.03911
Norbert Schuch
Xiao-Gang Wen